【CQOI2011】放棋子

【CQOI2011】放棋子

　　在一个n行m列的棋盘里放一些彩色的棋子，使得每个格子最多放一个棋子，且不同颜色的棋子不能在同一行或者同一列。有多少种方法？ 例如\(，n=m=3\)，有两个白棋子和一个灰棋子，下面左边两种方法都是合法的，但右边两种都是非法的。

　　　　

输出答案对\(10^9+9\)取模的结果。

我们设\(f_{i,j,k}\)表示前\(i\)种颜色的棋子，占了\(j\)行\(k\)列的方案数。

转移时，考虑第\(i\)种颜色占了\(j'\)行\(k'\)列的方案数为\(g_{i,j',k'}\)

\[\displaystyle
f_{i,j,k}=\sum f_{i-1,j-j',k-k'}\cdot g_{i,j',k'}\cdot \binom{n-j+j'}{j'}\cdot \binom{m-k+k'}{k'}
\]

考虑求\(g_{i,j',k'}\)。

我们求出最多占了\(j'\)行\(k'\)列的方案数为\(h_{i,j',k'}\)。\(h_{i,j',k'}=\binom{j'\cdot k'}{c_i}\)。\(c_{i}\)就是第\(i\)种颜色的棋子数量。然后容斥一下就好了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 35
#define C 15

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

const ll mod=1e9+9;
ll ksm(ll t,ll x) {
	ll ans=1;
	for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
		if(x&1) ans=ans*t%mod;
	return ans;
}

int n,m,q;
int size[C];
ll f[N][N][C];
ll g[N][N];
ll fac[N*N],ifac[N*N];
ll c(int n,int m) {return fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;}

void pre(int now) {
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			if(i*j>=size[now]) g[i][j]=c(i*j,size[now]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=m;j++) {
			for(int q=1;q<=i;q++) {
				for(int k=1;k<=j;k++) {
					if(q==i&&k==j) continue ;
					g[i][j]=(g[i][j]-g[q][k]*c(i,q)%mod*c(j,k)%mod+mod)%mod;
				}
			}
		}
	}
}

int main() {
	n=Get(),m=Get(),q=Get();
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n*m;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	ifac[n*m]=ksm(fac[n*m],mod-2);
	for(int i=n*m-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
	for(int i=1;i<=q;i++) size[i]=Get();
	f[0][0][0]=1;
	for(int i=1;i<=q;i++) {
		memset(g,0,sizeof(g));
		pre(i);
		for(int j=0;j<=n;j++) {
			for(int k=0;k<=m;k++) {
				if(!f[j][k][i-1]) continue ;
				for(int j2=j+1;j2<=n;j2++) {
					for(int k2=k+1;k2<=m;k2++) {
						if(!g[j2-j][k2-k]) continue ;
						(f[j2][k2][i]+=f[j][k][i-1]*g[j2-j][k2-k]%mod*c(n-j,j2-j)%mod*c(m-k,k2-k))%=mod;
					}
				}
			}
		}
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			(ans+=f[i][j][q])%=mod;
	cout<<ans;
	return 0;
}