【Luogu P3388】割点模板

Luogu P3388

在一个无向图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，图的连通分量增多，就称这个点集为割点集合。

如果某个割点集合只含有一个顶点X（也即{X}是一个割点集合），那么X称为一个割点。

为了便于理解，我们可以从狭义上进行分析：对于一个连通无向图，删去其中的一个点可以令这个图不再连通，那么这个点就是割点（之一）。

那么再推广一下：对于一个无向图，删除其中一个点，使这个图的连通块增多，那么这个点就是割点之一。

对于这一类题目，仍然可以采用类似求强连通分量时使用的Tarjan算法进行求解。

【Luogu P3387】缩点模板（强连通分量Tarjan&拓扑排序）

如果没有学习过相关知识，可以看这一篇博客。

做法如下：

先考虑对于当前搜索树的根节点，很容易想到如果它有多棵子树（其实这么说不太对，可以说是根节点有多个直接子节点），那么这个根节点肯定就会是一个割点。

那么对于非根节点呢？像是求强连通分量时的做法一样，寻找返祖边。用low数组记录每个点能返回的最早访问的节点。

想象下面这样一种情况：如果low[v]>=dfn[u]，说明v节点及其以下的任何一个节点都不可能不经过u节点访问到u节点以前的节点，在这样的情况下，u节点就成为了一个割点。

还有一个通常争议较大的地方，比较难以理解:

假设当前节点走到了一条往回走的边

low[now]=min(low[now],dfn[v]);//now即上文提到的u

在更新low的时候，这一句不能够写成下面的形式

low[now]=min(low[now],low[v]);

原因如下：我们知道low[v]记录是v能通过非树边（通常是返祖边，横叉边有的时候也是可以的）访问到的最早的节点，那么low[v]记录的节点必然在v之前或刚好为v。假设这样一种情况，low[v]记录的节点在v之前，那么按照第二种更新方法，low[now]被更新成v以前的节点。当我们回溯到节点v进行判断时，我们不会将v节点判定为割点，因为他的子节点now能访问到v以前的节点，不符合low[v]>=dfn[u]的条件。事实上，这种情况下，v也是一个割点。

可以自行画图进行理解

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=2*1e4+15,maxm=1e5+10;
struct data
{
	int to,nxt;
}e[2*maxm];
int dfn[maxn],low[maxn],tim,head[maxn],n,m,x,y,ans;
bool cut[maxn];
void tarjan(int now,int root)
{
	int bt=0;
	dfn[now]=low[now]=++tim;
	for (int i=head[now];i;i=e[i].nxt)
	{
		int v=e[i].to;
		if (!dfn[v])
		{
			tarjan(v,root);
			low[now]=min(low[now],low[v]);
			if (low[v]>=dfn[now]&&now!=root) cut[now]=true;
			if (now==root) bt++;
		}
		low[now]=min(low[now],dfn[v]);
	}
	if (now==root&&bt>1) cut[root]=true;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		e[i].to=y;e[i+m].to=x;
		e[i].nxt=head[x];e[i+m].nxt=head[y];
		head[x]=i;head[y]=i+m;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++) if (!dfn[i]) tarjan(i,i);
	for (int i=1;i<=n;i++) if (cut[i]) ans++;
	printf("%d\n",ans);
	for (int i=1;i<=n;i++) if (cut[i]) printf("%d ",i);
	return 0;
}