【网络流相关】最大流的Dinic算法实现

Luogu P3376

由于\(EK\)算法求最大流时每一次只求一条增广路，时间复杂度会比较高。尽管实际应用中表现比较优秀，但是有一些题目还是无法通过。

那么我们就会使用\(Dinic\)算法实现多路增广。

算法的基本流程如下：

1. \(BFS\)对图进行分层，求出终点所在的层数
2. \(DFS\)对每一条增广路的信息进行更新

仅仅这样看，虽然一次\(BFS\)能找到多条最短增广路，但是信息的更新仍然是逐条增广路进行更新，效率上并没有太大变化。

所以我们需要下面的两个优化：

• 记录起点到节点\(P\)的流\(flow\)和节点\(P\)到终点的流\(used\)。若\(flow=used\)，则不必再进行之后的\(DFS\)了，可以直接回溯。
• 使用一个\(cur\)数组复制链式前向星的\(head\)数组，在\(DFS\)时，\(cur\)数组记录当前处理的边的编号。下次\(DFS\)到这个节点时，可以直接从\(cur\)数组记录的那条边开始。

第二个优化我们称之为当前弧优化。

原理：每一条已经处理完毕的边，必然不能再容纳下更多的流了。

\(Dinic\)的时间复杂度是\(O(n^2m)\)。对于二分图匹配问题，\(Dinic\)的时间复杂度是\(O(m\sqrt n)\)

结合代码进行理解

#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m,num,cnt,u,v,head[20005],cur[20005],dis[20005],ans;
bool vis[20005];
struct data
{
	int to,next,val;
}e[5000005];
void add(int u,int v,int val)
{
	e[++cnt].to=v;
	e[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
	e[cnt].val=val;
}
bool bfs(int s,int t)
{
	queue<int> que;
	que.push(s);
	for (int i=1;i<=n;i++) dis[i]=0,vis[i]=false,cur[i]=head[i];
	vis[s]=true;
	dis[s]=1;
	while (!que.empty())
	{
		int now=que.front();
		que.pop();
		for (int i=head[now];i;i=e[i].next)
		{
			v=e[i].to;
			if (!vis[v]&&e[i].val>0)
			{
				dis[v]=dis[now]+1;
				vis[v]=true;
				if (v==t) return true;
				que.push(v);
			}
		}
	}
	return false;
}
int dfs(int now,int t,int flow)
{
	if (!flow||now==t) return flow;
	int used=0;
	for (int i=cur[now];i;i=e[i].next)
	{
		cur[now]=i;//当前弧优化
		v=e[i].to;
		if (dis[now]+1!=dis[v]) continue;
		int tmp=dfs(v,t,min(flow-used,e[i].val));
		if (tmp)
		{
			e[i].val-=tmp;
			e[i^1].val+=tmp;
			used+=tmp;
			if (flow-used==0) return flow;
		}
	}
	return used;
}
void Dinic(int s,int t)
{
	while (bfs(s,t)) ans+=dfs(s,t,0x7fffffff);
}
int main()
{
	int s,t,w;
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
	cnt=1;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(u,v,w);
		add(v,u,0);
	}
	Dinic(s,t);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}