「算法笔记」2-SAT 问题

一、定义

k-SAT（Satisfiability）问题的形式如下：

有 $n$ 个 01 变量 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，另有 $m$ 个变量取值需要满足的限制。
每个限制是一个 $k$ 元组 $(x_{p_1},x_{p_2},\cdots,x_{p_k})$，满足 $x_{p_1}\oplus x_{p_2}\oplus\cdots\oplus x_{p_k}=a$。其中 $a$ 为 $0$ 或 $1$，$\oplus$ 是某种二元 bool 运算（如或运算 $\vee$、与运算 $\wedge$）。
要求构造一种满足所有限制的变量的赋值方案。

当 $k>2$ 时该问题为 NP 完全的，只能暴力求解。因此一般讨论的是 $k=2$ 的情况，即 2-SAT 问题。

二、基本思想

$m$ 个限制，每个限制的形式都是「$x_i$ 为真/假或 $x_j$ 为真/假」。

对于变量 $x_i$，建立两个点 $i$ 与 $i+n$，分别表示 $x_i$ 为真、$\neg x_i$ 为真。

若 $x$ 为真，则 $\neg x$ 为假；若 $\neg x$ 为假，则 $x$ 为真。反之亦然。显然 $x$ 和 $\neg x$ 是互斥的。即，点 $i$ 与 $i+n$ 分别表示 $x_i$ 为真或假。

对变量关系建有向图。有向边 $u\to v$ 表示，若 $u$ 为真，则 $v$ 一定为真。

具体地，对于每个限制 $(a\vee b)$（变量 $a,b$ 至少满足一个），可将其转化为 $\neg a\rightarrow b\wedge\neg b\rightarrow a$（$a$ 为假则 $b$ 一定为真；$b$ 为假则 $a$ 一定为真）。即节点 $\neg a$ 向节点 $b$ 连边，从节点 $\neg b$ 向节点 $a$ 连边。

考虑节点 $i$ 与 $i+n$ 在图中的关系。若它们 互相可达，即在 同一个强连通分量 中，则说明在赋值限制下，它们代表的一对互斥取值会同时被取到。则不存在一组合法的赋值方案。

否则，说明有解，考虑如何构造一组合法解。

首先，对建出的图进行缩点得到一个 DAG。考虑节点 $i$ 与 $i+n$ 所在强连通分量的 拓扑关系。若两分量不连通，则 $x_i$ 取任意值（真或假）。否则只能取属于拓扑序较大的分量的值。因为若取拓扑序较小的值，可以根据逻辑关系推出取另一个值也是同时发生的。

三、具体实现

以 Luogu P4782 【模板】2-SAT 问题为例。

对于每个限制 $(a\vee b)$（变量 $a,b$ 至少满足一个），节点 $\neg a$ 向节点 $b$ 连边，从节点 $\neg b$ 向节点 $a$ 连边。
用 Tarjan 算法对建出的图缩点。
对于 $i\in [1,n]$，若 $i$ 与 $i+n$ 在同一个强连通分量中，则不存在一组合法的赋值方案。
否则，根据 Tarjan 求得的强连通分量的标号为拓扑逆序（Tarjan 算法求强连通分量时使用了栈），即反向的拓扑序，可以得到 $x_i$ 的值（取 $i$ 与 $i+n$ 所在强连通分量拓扑序较大的点的值）。

#include<bits/stdc++.h>

#define int long long

using namespace std;

const int N=2e6+5;

int n,m,x,a,y,b,cnt,hd[N],to[N<<1],nxt[N<<1],tot,c[N],top,s[N],num,dfn[N],low[N];

void add(int x,int y){

    to[++cnt]=y,nxt[cnt]=hd[x],hd[x]=cnt;

}

void tarjan(int x){

    dfn[x]=low[x]=++num,s[++top]=x;

    for(int i=hd[x];i;i=nxt[i]){

        int y=to[i];

        if(!dfn[y]) tarjan(y),low[x]=min(low[x],low[y]);

        else if(!c[y]) low[x]=min(low[x],dfn[y]);

    }

    if(low[x]==dfn[x]){

        c[x]=++tot;

        while(s[top]!=x) c[s[top--]]=tot;

        --top;

    }

}

signed main(){

    scanf("%lld%lld",&n,&m);

    for(int i=1;i<=m;i++){

        scanf("%lld%lld%lld%lld",&x,&a,&y,&b);

        if(a&&b) add(x+n,y),add(y+n,x);

        if(!a&&b) add(x,y),add(y+n,x+n);

        if(a&&!b) add(x+n,y+n),add(y,x);

        if(!a&&!b) add(x,y+n),add(y,x+n);

    }

    for(int i=1;i<=2*n;i++)

        if(!dfn[i]) tarjan(i);

    for(int i=1;i<=n;i++)

        if(c[i]==c[i+n]) puts("IMPOSSIBLE"),exit(0);

    puts("POSSIBLE");

    for(int i=1;i<=n;i++)

        printf("%d%c",c[i]<c[i+n],i==n?'\n':' ');    //Tarjan 求得的强连通分量的标号为拓扑逆序，即反向的拓扑序

    return 0;

}