Solution -「ARC 110F」Esoswap

\(\mathcal{Description}\)

  Link.

  给定 \(0\sim n-1\) 的排列 \(p_{0..n-1}\)，每次操作给出 \(i\)，交换 \(p_i\) 和 \(p_{(i+p_i)\bmod n}\)。构造一种使排列升序的操作序列。

  \(n\le100\)。

\(\mathcal{Solution}\)

  反正兔子就一个样例观察法，一个暴力伪解拍上去就 AC 了。（

  先讲讲我的伪解，观察样例解释：

• First, announce \(i=6\). We swap \(P_6(=5)\) and \(P_{(6+5)\bmod8}=P_3(=6)\), turning \(P\) into \(7,1,2,5,4,0,6,3\).

• Then, announce \(i=0\). We swap \(P_0(=7)\) and \(P_{(0+7)\bmod8}=P_7(=3)\), turning \(P\) into \(3,1,2,5,4,0,6,7\).

• Then, announce \(i=3\). We swap \(P_3(=5)\) and \(P_{(3+5)\bmod8}=P_0(=3)\), turning \(P\) into \(5,1,2,3,4,0,6,7\).

• Finally, announce \(i=0\). We swap \(P_0(=5)\) and \(P_{(0+5)\bmod8}=P_5(=0)\), turning \(P\) into \(0,1,2,3,4,5,6,7\).

  

  发现三次 \(p_i=5\)，一次 \(p_i=7\)。考虑到样例的迷惑性，我们尝试让对 \(p_i=5\) 的操作挨在一起。交换第一步和第二步，发现操作序列仍合法。

  接下来，我们强行解释该操作序列的内在逻辑：

• 希望 \(p_7=7\)，反复操作 \(p_i=7\) 直到 \(p_7=7\)；
• 希望 \(p_7=7\land p_6=6\)，反复操作 \(p_i=6\)（样例中不需要操作），直到不满足 \(p_7=7\) 回到第一步，或满足 \(p_6=6\)；
• 希望 \(p_5=5\land p_6=6\land p_7=7\)，操作同上。
• ……

  综上，交换策略为

选择不满足 \(p_i=i\) 的最大的 \(p_i\) 进行交换直到序列升序。

  然后就 AC 了，复杂度不知道。（

---

  正解是先操作使得 \(p=\{n-1,n-2,\cdots,0\}\) 然后逆序。操作方法考察从后往前的每个 \(i\)，不断操作 \(i\) 直至 \(p_i=n-i-1\)，可证至多操作 \(\mathcal O(n)\) 次，总复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)。

\(\mathcal{Code}\)

  伪解：

/* Clearink */

#include <cstdio>
#include <vector>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rpbound##i = r; i <= rpbound##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, rpbound##i = l; i >= rpbound##i; --i )

const int MAXN = 100;
int n, p[MAXN + 5];
std::vector<int> ans;

inline void iswp ( int& a, int& b ) { a ^= b ^= a ^= b; }

int main () {
	scanf ( "%d", &n );
	rep ( i, 0, n - 1 ) scanf ( "%d", &p[i] );
	while ( true ) {
		int irr = -1;
		rep ( i, 0, n - 1 ) if ( i ^ p[i] && ( !~irr || p[i] > p[irr] ) ) irr = i;
		if ( !~irr ) break;
		ans.push_back ( irr );
		iswp ( p[irr], p[( irr + p[irr] ) % n] );
	}
	printf ( "%d\n", ( int ) ans.size () );
	for ( int i: ans ) printf ( "%d\n", i );
	return 0;
}

  正解：

/* Clearink */

#include <cstdio>
#include <vector>

#define rep( i, l, r ) for ( int i = l, rpbound##i = r; i <= rpbound##i; ++i )
#define per( i, r, l ) for ( int i = r, rpbound##i = l; i >= rpbound##i; --i )

const int MAXN = 100;
int n, p[MAXN + 5];
std::vector<int> ans;

inline void iswp ( int& a, int& b ) { a ^= b ^= a ^= b; }
inline void oper ( const int i ) {
	ans.push_back ( i ), iswp ( p[i], p[( i + p[i] ) % n] );
}

int main () {
	scanf ( "%d", &n );
	rep ( i, 0, n - 1 ) scanf ( "%d", &p[i] );
	per ( i, n - 1, 1 ) for ( ; p[i] != n - i - 1; oper ( i ) );
	per ( i, n - 2, 0 ) {
		rep ( j, i + 1, n - 2 ) oper ( j );
		oper ( i ), oper ( i );
	}
	printf ( "%d\n", ( int ) ans.size () );
	for ( int i: ans ) printf ( "%d\n", i );
	return 0;
}