P5445-[APIO2019]路灯【set,树状数组套线段树】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5445

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题目大意

\(n+1\)个点，\(i\)和\(i+1\)个点之间有一条边，\(q\)个操作

1. 断开/连接第\(x\)和\(x+1\)之间的边
2. 询问目前为止\(a\)和\(b\)点在多少个操作后是联通的（包括开始前）

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解题思路

粗略的思想是我们可以用\(set\)来维护联通的块，但是这样很难统计答案，我们需要加上点其他东西。

考虑使用一个\((n+1)\times(n+1)\)的矩形来表示这个图的联通性，第\((i,j)\)个点储存目前的操作为止\(i\)和\(j\)到结束会联通多久。

以下矩形用\((x_1,y_1,x_2,y_2)\)来表示

为什么用矩形，因为每次都一定是连接两个区间或者断开一个区间，所以每次操作可以视为矩形操作。

为什么是目前的操作到结束位置，因为如果直接维护答案那么每次操作后有些位置的答案要加一，这样存就保证了一个静止状态，方便赋值。

对于一次操作连接\([l_1,r_1]\)和\([l_2,r_2]\)我们可以将矩形\((l_1,l_2,r_1,r_2)\)这个矩形加上一个\(q-t\)（\(t\)表示当前是第几个操作），断开的话就减去就好了。

需要注意如果这个时候询问的两个区间联通，那么询问出来的答案是到结束而不是到目前为止的，所以要减去一个\(q-t\)。

时间复杂度\(O(n\log^2n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
const int N=3e5+10,M=N<<7;
struct line{
    int l,r;
    line(int ll=0,int rr=0)
    {l=ll;r=rr;}
};
bool operator<(line x,line y)
{return x.r<y.r;}
int n,q,rt[N];
char st[N];
set<line> s;
set<line>::iterator it;
struct Seq_Tree{
    int w[M],ls[M],rs[M],cnt;
    void Change(int &x,int L,int R,int pos,int val){
        if(!x)x=++cnt;w[x]+=val;
        if(L==R)return;
        int mid=(L+R)>>1;
        if(pos<=mid)Change(ls[x],L,mid,pos,val);
        else Change(rs[x],mid+1,R,pos,val);
        return;
    }
    int Ask(int x,int L,int R,int l,int r){
        if(!x)return 0;
        if(L==l&&R==r)return w[x];
        int mid=(L+R)>>1;
        if(r<=mid)return Ask(ls[x],L,mid,l,r);
        if(l>mid)return Ask(rs[x],mid+1,R,l,r);
        return Ask(ls[x],L,mid,l,mid)+Ask(rs[x],mid+1,R,mid+1,r);
    }
}T;
void Change(int x,int y,int val){
    if(y>n)return;
    while(x<=n){
        T.Change(rt[x],1,n,y,val);
        x+=lowbit(x);
    }
    return;
}
int Ask(int x,int y){
    int ans=0;
    while(x){
        ans+=T.Ask(rt[x],1,n,1,y);
        x-=lowbit(x);
    }
    return ans;
}
void Updata(int x1,int x2,int y1,int y2,int val){
    Change(x1,y1,val);Change(x2+1,y2+1,val);
    Change(x2+1,y1,-val);Change(x1,y2+1,-val);
    return;
}
void Cut(int x,int t){
    it=s.lower_bound(line(x,x));
    int l=(*it).l,r=(*it).r;
    s.erase(it);
    Updata(l,x,x+1,r,t-q);
    s.insert(line(l,x));
    s.insert(line(x+1,r));
    return;
}
void Link(int x,int t){
    it=s.lower_bound(line(x,x));
    int x1=(*it).l,y1=(*it).r;s.erase(it);
    it=s.lower_bound(line(x,x));
    int x2=(*it).l,y2=(*it).r;s.erase(it);
    Updata(x1,y1,x2,y2,q-t);
    s.insert(line(x1,y2));
    return;
}
int main()
{
    // printf("%d\n",sizeof(T)>>20);
    scanf("%d%d",&n,&q);
    scanf("%s",st+1);n++;
    s.insert((line){1,n});
    Updata(1,n,1,n,q);
    for(int i=1;i<n;i++)
        if(st[i]=='0')Cut(i,0);
    for(int i=1;i<=q;i++){
        char op[10];scanf("%s",op);
        if(op[0]=='q'){
            int l,r;scanf("%d%d",&l,&r);
            it=s.lower_bound(line(l,l));
            int a=(*it).r;
            it=s.lower_bound(line(r,r));
            int b=(*it).r;
            printf("%d\n",Ask(l,r)-(a==b)*(q-i));
        }
        else{
            int x;scanf("%d",&x);
            if(st[x]=='0')
                st[x]='1',Link(x,i);
            else
                st[x]='0',Cut(x,i);
        }
    }
    return 0;
}