Codeforces 566C - Logistical Questions（点分治）

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神仙题 %%%

首先考虑对这个奇奇怪怪的 \(t^{3/2}\) 进行一番观察。考虑构造函数 \(f(x)=ax^{3/2}+b(d-x)^{3/2}\)，其中 \(a,b,d\) 为参数，将其求个导 \(f'(x)=\dfrac{3}{2}(ax^{1/2}-b(d-x)^{1/2})\)，不难发现 \(f'(0)=-\dfrac{3}{2}b\sqrt{d}<0,f'(d)=\dfrac{3}{2}a\sqrt{d}>0\)，而在 \([0,d]\) 中随着 \(x\) 的增大，\(ax^{1/2}\) 随之增大，\(b(d-x)^{1/2}\) 随之减小，故 \(f'(x)\) 在 \([0,d]\) 中为严格增函数，即 \(\exist x_0\in[0,d],f'(x_0)=0\)，故 \(f(x)\) 在 \([0,d]\) 中为严格下凸函数。

这能给我们什么启示呢？考虑将这东西与树联系起来，对于树上任意一条边 \((u,v)\)，假设 \(w_u=a,w_v=b\)，边的距离为 \(d\)，并且我们这个带权重心不一定刚好落在顶点上——它可以落在任意一条边的任意一点，那么假设我们取了 \((u,v)\) 边上一点，距离 \(u\) 为 \(x\)，这样 \(u,v\) 两点的权值之和恰好就是上文中提到的函数 \(f(x)\)，而 \(f(x)\) 为严格下凸函数可知必定存在 \((u,v)\) 上一点 \(t\)，使得当我们将重心定在 \(t\) 时候，\(u,v\) 两点贡献的权值之和最小，并且离 \(t\) 越远，\(u,v\) 两点贡献的权值之和最大。

将这个结论扩展到整棵树依旧成立，我们还是假设重心可以落在任意一条边的任意一点，那么对于重心 \(G\)，我们在不断远离 \(G\) 的过程中，所有点贡献权值之和必然是不断增大的；反之当我们不断靠近 \(G\) 的过程中所有点贡献的权值之和必然是不断减小的。或者说得更通俗些，现在有一枚棋子，摆放在树的任意一个位置，我们现在要沿着树上的边移动这枚棋子，那么上述结论说的是这样一件事：如果我们正在将这枚棋子向 \(G\) 的方向移动，那么权值之和是处于不断减小的过程中，否则权值之和是处于不断增大的过程中。

我们就考虑根据这个“移动棋子”的思想解决这道题。我们假设现在有一枚棋子摆放在 \(u\) 号节点，对于 \(u\) 的任意一个邻居 \(v\)，我们考虑将 \(u\) 沿着 \(v\) 的方向移动会产生什么影响，我们假设 \(u\) 沿着 \(v\) 方向移动了 \(x\) 的距离，\(u\) 到每个节点 \(v\) 的距离为 \(d_v\)，那么显然移动完之和权值之和 \(g_v(x)=\sum\limits_{t\in\text{subtree}(v)}a_t(d_t-x)^{3/2}+\sum\limits_{t\notin\text{subtree}(v)}a_t(d_t+x)^{3/2}\)。我们还可以注意到 \(x=0\) 时 \(g_v(x)\) 的值就是将重心定在 \(u\) 点时的权值，而假设重心 \(G\) 就在 \(v\) 的子树（含 \((u,v)\) 的边上），根据上面的结论有我们将 \(u\) 移动到 \(v\) 的过程中权值呈现减小的趋势，那么必然有 \(g_v(0)\) 的瞬时变化量为负，将 \(g_v(x)\) 求个导可得 \(g_v'(x)=-\sum\limits_{t\in\text{subtree}(v)}\dfrac{3}{2}a_t(d_t-x)^{1/2}-\sum\limits_{t\notin\text{subtree}(v)}\dfrac{3}{2}a_t(d_t+x)^{1/2}\)，我们对于每个 \(v\) 进行一遍 DFS 求出 \(g'_v(0)\) 的值，然后找到 \(g_v'(0)<0\) 的 \(v\) 并将棋子移动到 \(v\) 即可，根据之前的推论这样的 \(v\) 是唯一的。

这样复杂度是平方的，过不去，等同于暴力。不过考虑有个东西叫点分治，假设我们预期将棋子移动到 \(v\) 的位置，那么我们可以确定重心一定在 \(v\) 的子树（包括 \((u,v)\) 的边上），我们就每次找出 \(v\) 子树的重心 \(G\)（这里的重心就是普通的重心分治里的重心），将棋子移动到 \(G\) 即可，根据重心分治的复杂度可知这样是 \(n\log n\) 的。

最后注意要每移动一次更新一次答案，不要直接输出最后一次到达的位置。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define fill0(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define fill1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define fillbig(a) memset(a,63,sizeof(a))
#define pb push_back
#define ppb pop_back
#define mp make_pair
template<typename T1,typename T2> void chkmin(T1 &x,T2 y){if(x>y) x=y;}
template<typename T1,typename T2> void chkmax(T1 &x,T2 y){if(x<y) x=y;}
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
typedef unsigned int u32;
typedef unsigned long long u64;
namespace fastio{
	#define FILE_SIZE 1<<23
	char rbuf[FILE_SIZE],*p1=rbuf,*p2=rbuf,wbuf[FILE_SIZE],*p3=wbuf;
	inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=rbuf)+fread(rbuf,1,FILE_SIZE,stdin),p1==p2)?-1:*p1++;}
	inline void putc(char x){(*p3++=x);}
	template<typename T> void read(T &x){
		x=0;char c=getchar();T neg=0;
		while(!isdigit(c)) neg|=!(c^'-'),c=getchar();
		while(isdigit(c)) x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
		if(neg) x=(~x)+1;
	}
	template<typename T> void recursive_print(T x){if(!x) return;recursive_print(x/10);putc(x%10^48);}
	template<typename T> void print(T x){if(!x) putc('0');if(x<0) putc('-'),x=~x+1;recursive_print(x);}
	void print_final(){fwrite(wbuf,1,p3-wbuf,stdout);}
}
const int MAXN=2e5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
int n,a[MAXN+5],hd[MAXN+5],to[MAXN*2+5],nxt[MAXN*2+5],val[MAXN*2+5],ec=0;
void adde(int u,int v,int w){to[++ec]=v;val[ec]=w;nxt[ec]=hd[u];hd[u]=ec;}
bool vis[MAXN+5];int siz[MAXN+5],mx[MAXN+5],cent=0;
int ans=0;double mn=1e25,sum[MAXN+5],sum1=0,sum2=0;
void findcent(int x,int f,int totsiz){
	mx[x]=0;siz[x]=1;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e];if(y==f||vis[y]) continue;
		findcent(y,x,totsiz);siz[x]+=siz[y];
		chkmax(mx[x],siz[y]);
	} chkmax(mx[x],totsiz-siz[x]);
	if(mx[x]<mx[cent]) cent=x;
}
void calc(int x,int f,int rt,int dep){
	sum1+=1.0*a[x]*dep*sqrt(dep);
	sum2+=1.0*a[x]*sqrt(dep)*3/2;
	sum[rt]+=1.0*a[x]*sqrt(dep)*3/2;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e],z=val[e];if(y==f) continue;
		calc(y,x,rt,dep+z);
	}
}
void divcent(int x){
	if(vis[x]) return;vis[x]=1;sum1=sum2=0;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e],z=val[e];sum[y]=0;calc(y,x,y,z);
	}
	if(sum1<mn) mn=sum1,ans=x;
	for(int e=hd[x];e;e=nxt[e]){
		int y=to[e],z=val[e];
		if(sum2-sum[y]*2.0<0){
			cent=0;findcent(y,x,siz[y]);divcent(cent);
			return;
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
	for(int i=1,u,v,w;i<n;i++) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),adde(u,v,w),adde(v,u,w);
	mx[0]=INF;cent=0;findcent(1,0,n);divcent(cent);
	printf("%d %.15lf\n",ans,mn);
	return 0;
}