[JSOI2007]文本生成器（AC自动机，DP）

题目链接：

洛谷

LOJ

BZOJ

题目大意：给定 $n$ 个只含大写字母的串（称为可读串），问有多少种只含大写字母的长为 $m$ 的串，包含至少一个可读串。

$1\le n\le 60,1\le \text{每个串长}\le 100,1\le m\le 100$。

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stmN年没发过博客了赶紧发一发

第一道在AC自动机上DP的题，纪念纪念。

首先可以发现答案就是所有串的个数减去不包含可读串的串的个数。

前半部分是 $26^m$。后半部分使用DP求解。

首先建出可读串的AC自动机。

令 $dp[i][j]$ 表示串长为 $i$，在AC自动机上走到编号为 $j$ 的节点的合法串个数。

如果走到 $j$ 的儿子 $k$ 这个节点的串合法，那么就可以从 $(i,j)$ 转移到 $(i+1,ch[j][k])$。

$dp[i+1][ch[j][k]]+=dp[i][j](0\le k<26)$

初始状态 $dp[0][0]=1$。答案为所有 $dp[m][i]$ 的最大值。

可能看到这里，你最大的疑问就是：如何判断走到点 $j$ 的串是否合法？真的可行吗？

想一想在AC自动机的fail的性质。我们就可以发现：如果从点 $j$ 不停沿fail往上跳，经过的所有点（包括 $j$）没有串尾的节点，那么 $j$ 合法，否则不合法。

这个合法性可以在BFS求fail时顺带求出。

（仔细想一想在AC自动机上跑匹配的本质就明白了）

时间复杂度 $O(m\sum|S|)$，空间复杂度 $O(\sum|S|)$，全都带一个 $26$ 的常数。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=;
#define FOR(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define ROF(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define MEM(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
inline int read(){
    char ch=getchar();int x=,f=;
    while(ch<'' || ch>'') f|=ch=='-',ch=getchar();
    while(ch>='' && ch<='') x=x*+ch-'',ch=getchar();
    return f?-x:x;
}
int n,m,cnt,q[],h,r,ch[][],dp[][],fail[];
bool war[];    //war表示节点是否不合法（不合法！不合法！）
char str[];
void insert(char str[],int len){
    int now=;
    FOR(i,,len){
        int p=str[i]-'A';
        if(!ch[now][p]) ch[now][p]=++cnt;
        now=ch[now][p];
    }
    war[now]=true;    //串尾不合法
}
void build(){
    h=;r=;
    FOR(i,,) if(ch[][i]) q[++r]=ch[][i];
    while(h<=r){
        int u=q[h++];
        FOR(i,,) if(ch[u][i]){
            fail[ch[u][i]]=ch[fail[u]][i];
            war[ch[u][i]]|=war[fail[ch[u][i]]];
            //如果fail不合法，自己也不合法
            q[++r]=ch[u][i];
        }
        else ch[u][i]=ch[fail[u]][i];
    }
}
int qpow(int a,int b){
    int ans=;
    for(;b;b>>=,a=a*a%mod) if(b&) ans=ans*a%mod;
    return ans;
}
int main(){
    n=read();m=read();
    FOR(i,,n) scanf("%s",str+),insert(str,strlen(str+));
    build();
    dp[][]=;
    FOR(i,,m-) FOR(j,,cnt) FOR(k,,)
        if(!war[ch[j][k]]) dp[i+][ch[j][k]]=(dp[i+][ch[j][k]]+dp[i][j])%mod;
        //ch[j][k]合法，可以转移
    int ans=qpow(,m);
    FOR(i,,cnt) ans=(ans-dp[m][i]+mod)%mod;    //容斥一下
    printf("%d\n",ans);    //答案
}

AC自动机上DP

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