MT【197】存在$a,b$对于任意的$x$

已知$f(x)=ax^2+bx-\dfrac{1}{4}$,若存在$a,b\in R$,使得对于任意的$x\in[0,7],|f(x)|\le2$恒成立,求$|a|$的最大值____

提示:
$|ax^2+bx-\dfrac{1}{4}|\le2,$得$-\dfrac{7}{4x}\le ax+b\le \dfrac{9}{4x}$结合图像,
$y=ax+b$的函数图像介于$y=-\dfrac{7}{4x}\textbf{与}y=\dfrac{9}{4x}$的图像之间,要求$|a|$的最大值.
显然只需考虑$y=ax+b$过$(7,-\dfrac{1}{4})$ 时的斜率,联立方程组

\begin{equation*}
\left\{ \begin{aligned}
y &= a(x-7)-\dfrac{1}{4} \\
y&=\dfrac{9}{4x}
\end{aligned} \right.
\end{equation*}

令$\Delta=(28a+1)^2+144a=0$,得$a=-\dfrac{1}{4}\vee\dfrac{-1}{196} $所以$|a|$的最大值为$\dfrac{1}{4}$