Happy Equation

Source: The 10th Shandong Provincial Collegiate Programming Contest

题解：

因为2^p为偶数，所以a，x的奇偶性相同

1.当a为奇数时，答案始终为1

2.下面讨论a为偶数的情况

因为a为偶数，所以a=2*other，a^x=2^x*other^x；

当x>=p时，a^x%2^p==0，此时只需要关心x^a%2^p==0，即x^a是2^p的倍数；

因为x为偶数，所以x=2^q*tmp，x^a=(2^q)^a*tmp^a=2^qa*tmp^a；

另tmp==1，并让2^qa>=2^p,即qa>=p,解得q>=p/a向上取整，满足x^a是2^p的倍数的q的最小值（也就是说x中必须要包含一个2^q才能是2^p的倍数）；

由于1<=x<=2^p，故ans+=(2^p)/(2^q)-(p-1)/(2^q)；

当x<p时，可以直接暴力

AC代码：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 const int maxn=1e5+;
 ll a,p,mod,ans;
 ll qpow(ll x,ll y)
 {
     ll res=;
     while(y){
         if(y%==) res=res*x%mod;
         x=x*x%mod;
         y>>=;
     }
     return res;
 }
 int main()
 {
     int t;
     for(scanf("%d",&t);t;t--)
     {
         mod=;ans=;
         scanf("%lld %lld",&a,&p);
         if(a%==)
         {
             printf("1\n");
             continue;
         }
         mod<<=p;
         for(ll i=;i<p;i+=)
         {
             if(qpow(i,a)==qpow(a,i)) ans++;
         }
         ll q=(p-)/a+;
         ll cnt=;cnt<<=q;
         ans+=mod/cnt-(p-)/cnt;
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }