Uva 294 Divisors(唯一分解定理)

题意：求区间内正约数最大的数。

原理：唯一分解定义（又称算术基本定理），定义如下：

　　任何一个大于1的自然数 ，都可以唯一分解成有限个质数的乘积  ，这里  均为质数，其诸指数  是正整数。这样的分解称为

  

的标准分解式。（取自百度百科）

根据原理，正约数数量 = (1+a1)(1+a2)..(1+an)

因此我们需要先求出所有素数，进而求出a1,a2,..an的大小。

原题给的数字范围是1<=L<=U<=10^9,假如要全部算一遍需要很长时间。那么可能最大的正约数是多少呢？

回想我们所用的判断素数的算法（第五行到第十二行），最大可能的正约数不会超过根号n。求得n大约是31622。

然后我们就可以把1<=n<=31622内的素数打表来加速我们的计算。

完整代码如下：

 #include <bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 vector<int> prime;
 //
 int is_prime(int n)
 {
     int k = floor(sqrt(n)+0.5);
     for(int i = ; i <= k; i++){
         if(n%i==)return ;
     }
     return ;
 }
 int divinum(int n){
     int sum = ;
     unsigned k = ;
     while(n>&&k<prime.size()){
         int  t = ;
         while(n%prime[k]==){
             n/=prime[k];
             t++;
         }
         k++;
         sum*=t;
     }
     return sum;
 }
 int main(){
     int n;
     for(int i = ; i <= ; i++){
         if(is_prime(i))
             prime.push_back(i);
     }
     cin >> n;
     while(n--){
         int L, U;
         cin >> L >> U;
         int max_factor = ;
         max_factor = ;
         int max_num = ;
         for(int i = L; i <= U; i++){
             int k = divinum(i);
             if(k > max_factor){
                 max_factor = k;
                 max_num =i;
             }
         }
         printf("Between %d and %d, %d has a maximum of %d divisors.\n",L,U,max_num,max_factor);
     }
     return ;
 }