【bzoj3510】首都 LCT维护子树信息（+启发式合并）

题目描述

在X星球上有N个国家，每个国家占据着X星球的一座城市。由于国家之间是敌对关系，所以不同国家的两个城市是不会有公路相连的。 
X星球上战乱频发，如果A国打败了B国，那么B国将永远从这个星球消失，而B国的国土也将归A国管辖。A国国王为了加强统治，会在A国和B国之间修建一条公路，即选择原A国的某个城市和B国某个城市，修建一条连接这两座城市的公路。 
同样为了便于统治自己的国家，国家的首都会选在某个使得其他城市到它距离之和最小的城市，这里的距离是指需要经过公路的条数，如果有多个这样的城市，编号最小的将成为首都。 
现在告诉你发生在X星球的战事，需要你处理一些关于国家首都的信息，具体地，有如下3种信息需要处理： 
1、A x y：表示某两个国家发生战乱，战胜国选择了x城市和y城市，在它们之间修建公路（保证其中城市一个在战胜国另一个在战败国）。 
2、Q x：询问当前编号为x的城市所在国家的首都。 
3、Xor：询问当前所有国家首都编号的异或和。

输入

第一行是整数N，M，表示城市数和需要处理的信息数。 
接下来每行是一个信息，格式如题目描述（A、Q、Xor中的某一种）。

输出

输出包含若干行，为处理Q和Xor信息的结果。

样例输入

10 10
Xor
Q 1
A 10 1
A 1 4
Q 4
Q 10
A 7 6
Xor
Q 7
Xor

样例输出

11
1
1
1
2
6
2

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题解

LCT维护子树信息（+启发式合并）

这道题也真是强啊，分析了一会码了一会，结果却因为一个傻x错误坑了我一个多小时~

首先，在link时，要把点数少的连接到点数多的上（这其实不应该叫做启发式合并吧）

这样有什么好处？它有两个重要的性质：

1.合并后的重心一定在点数多的树之内，且在连接点到原重心的链上（因为如果在点数少的树之内，重心最后一段的移动路径一定对答案的贡献恒为负，一定不是最优解；而偏移方向不为到连接点方向的话对答案贡献也一定为负）

2.合并后的重心与原重心距离一定不超过点数少的树的点数（假设一个一个插入，偏移距离一定不超过1）

这就可以看出这样做的优势：性质1限定了重心移动的方向，性质2限定了重心移动的距离。

我们考虑：重心发生改变，把它移动的路径分为每次一条边的段，那么每一段对于答案的贡献一定是递减的，直到某一段对答案贡献为负则停止。

那么我们就可以模拟这个过程，将重心设为树根，每次把重心可能的移动路径拿出来，一个一个判断并处理。

嘴上说真简单

实际上，要动态维护子树大小，需要使用LCT维护子树信息。而在LCT中取出重心的移动路径并不是特别容易，需要求出Splay Tree的中序遍历，就要dfs整棵Splay Tree，并在超过范围时停止。

由于重心是固定的，因此将x合并到y上时不能makeroot(y)，只能access(y),splay(y)

更复杂的问题是题目不是使用spj，而是强制要求有多个重心时需要选择编号较小的。所以还应该判断编号的影响。

最重要的是，findroot和dfs时都需要pushdown！一开始我在findroot时想起来了，结果到dfs时又忘了，因为这个sb错误zz了一个小时真是气。

代码不是很美观...具体实现可以参考 bzoj4530 。

时间复杂度依然是$O(n\log^2n)$

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
int fa[N] , c[2][N] , rev[N] , si[N] , sum[N] , sta[N] , top , s;
char str[5];
void pushup(int x)
{
	sum[x] = sum[c[0][x]] + sum[c[1][x]] + si[x] + 1;
}
void pushdown(int x)
{
	if(rev[x])
	{
		int l = c[0][x] , r = c[1][x];
		swap(c[0][l] , c[1][l]) , swap(c[0][r] , c[1][r]);
		rev[l] ^= 1 , rev[r] ^= 1 , rev[x] = 0;
	}
}
bool isroot(int x)
{
	return c[0][fa[x]] != x && c[1][fa[x]] != x;
}
void update(int x)
{
	if(!isroot(x)) update(fa[x]);
	pushdown(x);
}
void rotate(int x)
{
	int y = fa[x] , z = fa[y] , l = (c[1][y] == x) , r = l ^ 1;
	if(!isroot(y)) c[c[1][z] == y][z] = x;
	fa[x] = z , fa[y] = x , fa[c[r][x]] = y , c[l][y] = c[r][x] , c[r][x] = y;
	pushup(y) , pushup(x);
}
void splay(int x)
{
	update(x);
	while(!isroot(x))
	{
		int y = fa[x] , z = fa[y];
		if(!isroot(y))
		{
			if((c[0][y] == x) ^ (c[0][z] == y)) rotate(x);
			else rotate(y);
		}
		rotate(x);
	}
}
void access(int x)
{
	int t = 0;
	while(x) splay(x) , si[x] += sum[c[1][x]] - sum[t] , c[1][x] = t , pushup(x) , t = x , x = fa[x];
}
int find(int x)
{
	access(x) , splay(x);
	while(c[0][x]) pushdown(x) , x = c[0][x];
	return x;
}
void makeroot(int x)
{
	access(x) , splay(x) , swap(c[0][x] , c[1][x]) , rev[x] = 1;
}
void split(int x , int y)
{
	makeroot(x) , access(y) , splay(y);
}
void link(int x , int y)
{
	split(x , y) , fa[x] = y , si[y] += sum[x];
}
void dfs(int x)
{
	if(!x) return;
	pushdown(x);
	dfs(c[0][x]);
	if(top > s) return;
	sta[++top] = x;
	if(top > s) return;
	dfs(c[1][x]);
}
int main()
{
	int n , m , i , ret = 0 , x , y , t , tx , ty , r , ts;
	scanf("%d%d" , &n , &m);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) sum[i] = 1 , ret ^= i;
	while(m -- )
	{
		scanf("%s" , str);
		if(str[0] == 'A')
		{
			scanf("%d%d" , &x , &y) , tx = find(x) , ty = find(y) , ret ^= tx ^ ty , splay(tx) , splay(ty);
			if(sum[tx] > sum[ty] || (sum[tx] == sum[ty] && x < y)) swap(x , y) , swap(tx , ty);
			s = sum[tx] , ts = sum[tx] + sum[ty] , link(x , y) , access(x) , splay(ty);
			top = 0 , dfs(ty) , r = ty;
			for(i = 1 ; i <= top ; i ++ )
			{
				splay(sta[i]) , t = si[sta[i]] + 1 + sum[c[1][sta[i]]];
				if(ts - t < t || (ts - t == t && sta[i] <= r)) r = sta[i];
				else break;
			}
			makeroot(r) , ret ^= r;
		}
		else if(str[0] == 'Q') scanf("%d" , &x) , printf("%d\n" , find(x));
		else printf("%d\n" , ret);
	}
	return 0;
}