题目描述

申奥成功后,布布经过不懈努力,终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题:为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算,这个项目需要N 天才能完成,其中第i 天至少需要Ai 个人。布布通过了解得知,一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天,招募费用是每人Ci 元。新官上任三把火,为了出色地完成自己的工作,布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者,但这并不是他的特长!于是布布找到了你,希望你帮他设计一种最优的招募方案。

输入

第一行包含两个整数N, M,表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。接下来的一行中包含N 个非负整数,表示每天至少需要的志愿者人数。接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci,含义如上文所述。为了方便起见,我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

输出

仅包含一个整数,表示你所设计的最优方案的总费用。

样例输入

3 3
2 3 4
1 2 2
2 3 5
3 3 2

样例输出

14


题解

线性规划与费用流

“事实上任何最大流,最小费用流,上下界网络流都是在解决一个线性规划问题”(摘自 wyfcyx 大爷的ppt)

具体地,在一个网络流问题中,把边看作变量,把点看作限制条件,就会得到一个线性规划问题。

当然,由于网络流的特性,这类线性规划问题只能是:每个变量出现次数为且仅为2次,且1次系数为+1,1次系数为-1。

如果我们能够将这类特殊的线性规划问题转化为网络流问题,就可以圆满地解决原问题。

考虑本题,限制条件就是每天大的志愿者数大于等于规定数量,求 ∑费用*数量 的最小值。

这样可能不是很清楚,这里用样例举例子:

设$x_i$表示第i类志愿者的人数

限制条件:$\begin{cases}x_i\ge0\\x_1\ge2\\x_1+x_2\ge3\\x_2+x_3\ge4\end{cases}$,要最小化$2x_1+5x_2+2x_3$

我们把不等关系转化为相等关系,可以得到新的限制条件:$\begin{cases}x_i\ge0\\y_i\ge0\\x_1=2+y_1\\x_1+x_2=3+y_2\\x_2+x_3=4+y_3\end{cases}$

这样尽管多了几个变量,却把不等关系转化为容易处理的相等关系,易于建图。

但是这样依然不满足我们使用网络流解决线性规划问题的条件,因为变量出现次数不全为2,且系数不为+1和-1。

此时我们想到差分,把0=0分别放到限制条件中相等关系的最上端与最下端,然后上下进行差分并移项,可以得到:$\begin{cases}x_i\ge0\\y_i\ge0\\x_1-y_1-2=0\\x_2+y_1-y_2-1=0\\x_3-x_1+y_2-y_3-1=0\\-x_2-x_3+y_3+4=0\end{cases}$

这样就把限制条件“神奇”地转化为能够使用网络流解决的问题。为什么?因为用到了题目中的“志愿者工作时间是si天到ti天”,即一定是连续的。我们差分的本质是:$x_i$系数为+1时表示第i类志愿者刚开始工作,$x_i$系数为-1时表示第i类志愿者刚结束工作。所以一定是两个时间点。

我们再回过头来看这个线性规划问题。如何来使用网络流来解决它?这用到了网络流“流量守恒”的性质,即除S和T外,流入流量=流出流量。

我们把系数为+1看作要流出的流量,系数为-1看作要流入的流量,那么显然正负相等,符合条件。对于同一个变量的值是固定的,所以应从+1流向-1;对于常数项,系数为+1则从该点流向T,系数为-1则从S流向该点。

由于限制条件是与变量$x_i$有关的,所以在变量$x_i$对应的边上加上费用,然后跑费用流即可出解。

总结一下建图方法:把题目中的n天转化为n个等式,差分得到n+1个,代表图中的点;对于第i类志愿者,加边si->ti+1,容量为inf,费用为ci;加边j-1->j,容量为inf,费用为0,代表限制条件中的y。对于每天需要的志愿者数量$a_i(1\le i\le n+1)$,如果$a_i>a_{i-1}$,则加边S->i,容量为$a_i-a_{i-1}$,费用为0(因为差分后右面系数为正,移项后为负,代表流入);否咋加边i->T,容量为$a_{i-1}-a_i$,费用为0.

然后跑最小费用最大流出解。

说了这么多其实代码还是很简单的。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define N 5000
#define M 100000
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
queue<int> q;
int a[N] , head[N] , to[M] , val[M] , cost[M] , next[M] , cnt = 1 , s , t , dis[N] , from[N] , pre[N];
void add(int x , int y , int v , int c)
{
to[++cnt] = y , val[cnt] = v , cost[cnt] = c , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
to[++cnt] = x , val[cnt] = 0 , cost[cnt] = -c , next[cnt] = head[y] , head[y] = cnt;
}
bool spfa()
{
int x , i;
memset(from , -1 , sizeof(from));
memset(dis , 0x3f , sizeof(dis));
dis[s] = 0 , q.push(s);
while(!q.empty())
{
x = q.front() , q.pop();
for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
if(val[i] && dis[to[i]] > dis[x] + cost[i])
dis[to[i]] = dis[x] + cost[i] , from[to[i]] = x , pre[to[i]] = i , q.push(to[i]);
}
return ~from[t];
}
int mincost()
{
int ans = 0 , i , k;
while(spfa())
{
k = inf;
for(i = t ; i != s ; i = from[i]) k = min(k , val[pre[i]]);
ans += k * dis[t];
for(i = t ; i != s ; i = from[i]) val[pre[i]] -= k , val[pre[i] ^ 1] += k;
}
return ans;
}
int main()
{
int n , m , i , x , y , z;
scanf("%d%d" , &n , &m) , s = 0 , t = n + 2;
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i]) , add(i + 1 , i , inf , 0);
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d%d%d" , &x , &y , &z) , add(x , y + 1 , inf , z);
for(i = 1 ; i <= n + 1 ; i ++ )
{
if(a[i] - a[i - 1] > 0) add(s , i , a[i] - a[i - 1] , 0);
if(a[i] - a[i - 1] < 0) add(i , t , a[i - 1] - a[i] , 0);
}
printf("%d\n" , mincost());
return 0;
}

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