ZROI 19.07.30 简单字符串/ll

写在前面：今天下午药丸……不会字符串，全程掉线/ll

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• 给出字符串\(S\)，\(q\)次询问，每次给出\(a,b,c,d\),询问\(S[a,b]\)的所有子串和\(S[c,d]\)最长公共前缀的最大值。\(|S|,q \leq 10^5\)。

取反建个SAM，每次二分答案。如果存在，合法串的右端点一定在\([a+len-1,b]\)，建个主席树维护一下这些后缀在不在对应串的子树里就可以。

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• 有一个字符串\(S\)，初始为空。\(m\)次操作，每次操作在第\(x_i\)次操作之后的字符串后面加上一个不超过\(k\)的字符\(c_i\)，并求出新串最短的循环节，强制在线。\(m, k \leq 10^5\)。

Sol1：

发现我们要维护的就是kmp的\(next\)数组，然而kmp复杂度是均摊的，如果可持久化的话，对某个多次跳\(next\)的位置多次询问就会gg。

我们可以考虑给它严格化一下。

设\(trans_{x,c}\)表示从\(x\)后面添加一个字符\(c\)，会转移到的位置。

考虑\(trans_{x,c}\)和\(trans_{next_{x},c}\)有什么不同。

如果\(next_{x}\)后面的字符不是\(c\)，显然它们相等。否则\(trans_{x,c}=next_x+1\)。

对\(trans\)数组可持久化一下，每次修改一个位置即可。

Sol2：

每次跳\(next\)的时候，如果\(next_x \leq \frac{x}{2}\)，就可以直接跳，因为最多跳\(\log\)次。

否则就说明\(x\)有一个长度为\(x-next_x\)的周期，在周期内不管怎么跳，后一个字符都是相等的。

那么可以直接跳到\(x~ mod~(x-next_x)\)的位置，发现最多也会跳\(\log\)次。

这样复杂度就是严格的了。

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• 长度为\(n\)的字符串，分成至少\(k\)段，使得每一段的所有子串中，字典序最大的子串最小。

首先二分答案，然后考虑倒序处理。每次在前面加入一个字符，用SA判断新增的子串是否超过二分值即可。

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• 给定一个字符串\(S\)，维护一个字符串vector \(T\)，支持三种操作：\(T.append(T_x+c)\)，\(T.append(c+T_x)\)，询问\(T_x\)在\(S[l,r]\)出现次数。\(|S|,m\leq 10^5\)。

发现\(T_x\)一定是\(S\)的子串，否则就可以把它丢掉。

对于每个\(T_x\)可以维护它在\(S\)的SAM上的节点位置，操作1和2可以直接做，操作3可以离线线段树合并或者主席树。

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• 区间本质不同子串个数。

离线扫描线。考虑每次加入新字符的时候怎么办。

先考虑暴力，假设我们在SAM里新加入了这个字符，那它新产生的子串一定是从这个新加入的节点一直跳\(fa\)跳到根，路上经过的节点。

每个节点维护一个\(lstpos\)，表示最后一次跳到这个节点的位置，那么左端点在这个位置右边的询问会产生影响。

发现这个操作很像lct的\(access\)操作，所以相同的\(lstpos\)可以看作一段，均摊是\(\log\)段。每段产生的影响会形如一个分段函数，只有常数段，线段树维护即可。

总复杂度\(O(n\log^2 n)\)。

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• 区间本质不同回文串个数。

掉线了，咕咕咕。

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• 字符串\(A\)对\(B\)是好的，当且仅当\(A\)在\(B\)里出现了至少两次。给定\(S_1\)，求最大的\(k\)，使得存在字符串序列\(S_1,S_2,…,S_k\)满足对于任意的\(i \in [1,k)\)，\(S_{i+1}\)对\(S_i\)是好的。

显然每个\(S_i\)都是\(S_1\)的子串。

一定存在一组最优解，使得对于\(i \geq 2\)，任何\(S_{i+1}\)都是\(S_i\)的后缀。

证明比较显然，如果不是后缀，把后缀后面的部分去掉不会影响答案。

所以答案是SAM上的一条链，对每个点二分一下祖先就可以。

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• 给定字符串\(S\)，求后缀之间两两最长回文LCP，每次在\(S\)后加一个字母，输出加字母后的答案，强制在线。

最长回文LCP，实际上就是回文树上两两之间的LCA深度。

新加入字母时，考虑它和之前所有节点的LCA深度和，发现每个祖先贡献为\(size_x\times(dep_x-dep_{fa_x})\)，是个经典数据结构，LCT维护即可。

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• 求字符串\(S\)的所有子串中，任选两个，满足\(|A|+|B|-2LCP(A,B) \leq L\)的\((A,B)\)数量。\(n\leq 10^5\)。串伪随机。

这东西的意义其实就是后缀树上两个点之间路径的长度。

树分治找长度不超过\(L\)的路径总数即可。

对后缀树上的每个节点启发式合并子树也可以。

很多LCP类问题用树型结构去分析都有很好的效果。

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• 区间Border。\(n,q \leq 10^5\)。

转化为求最短循环节。发现一段区间的循环节等价于找一个\(x\)，使\(x+LCP(L,L+x-1)-1\geq R\)。

从左往右跑扫描线，遇到询问的左端点就加进去。对于每个询问第一次遇到符合条件的\(i\)就可以得到答案。

LCP等于后缀树上的LCA深度。

LCA有两种情况：①\(dep_L>dep_i\)，②\(dep_L\leq dep_i\)

可以从后缀树上\(i\)对应的节点往上跳，跳到一个节点的时候，需要对它的子树和祖先（对应两种情况）分别判断是否有询问满足条件，只要维护询问的最小值即可，对于满足条件的可以直接暴力删去。

可以用树剖加速这个过程，复杂度\(O(n\log^2n)\)。

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少女掉线中……

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• Lyndon串

对于串\(S\)，若它的最小后缀是它本身，则它是Lyndon串。等价于它是它循环移位中最小的一个。

定理：若\(u,v\)是Lyndon串，则\(u+v\)是Lyndon串，当且仅当\(u< v\)。

定理：我们可以把任意串唯一划分为\(v=v_1^{q_1}+v_2^{q_2}+…+v_k^{q_k}\)的形式，满足\(v_i\)是Lyndon串，且\(v_i>v_{i+1}\)。

构造：掉线了。

后面的例题：也掉线了。