【洛谷P3338】力

题目大意：求

\[E_{j}=\sum_{i<j} \frac{q_{i}}{(i-j)^{2}}-\sum_{i>j} \frac{q_{i}}{(i-j)^{2}}
\]

题解：可以发现，这个和式隐藏着卷积的形式，即：设 \(f(i)={1\over i^2}\)，\(g(i)=q_i\)，则以上和式可以表示成 $$\sum\limits_{i=0}^j g(i)f(j-i)$$，$$\sum\limits_{i=j}^{n-1}g(i)f(i-j)$$，令 \(f(0)=0\) 即可让 j 这一项也参与运算。发现上面的和式直接就是一个卷积的计算，对于下面的和式来说，发现 f 和 g 的差是定值，这里采用将 g 翻转成 g‘，则原式变成$$\sum\limits_{i=j}^{n-1}g'(n-i-1)f(i-j)$$可以发现，下标的和成为了定值，在对求和指标进行换元之后，也成为了一个卷积。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=4e5+10;
const double pi=acos(-1);

int n,m;
struct cp{
    double x,y;
    cp(double xx=0,double yy=0):x(xx),y(yy){}
    friend cp operator+(const cp &a,const cp &b){return cp(a.x+b.x,a.y+b.y);}
    friend cp operator-(const cp &a,const cp &b){return cp(a.x-b.x,a.y-b.y);}
    friend cp operator*(const cp &a,const cp &b){return cp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.y*b.x+b.y*a.x);}
}a[maxn],b[maxn],c[maxn];
int tot=1,bit,rev[maxn];

void read_and_parse(){
    scanf("%d",&n),m=2*n-2;
    for(int i=0;i<n;i++)scanf("%lf",&a[i].x),b[n-1-i].x=a[i].x;
    for(int i=1;i<n;i++)c[i].x=1.0/i/i;
    while(tot<=m)tot<<=1,++bit;
    for(int i=0;i<tot;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
}

void fft(cp *t,int type){
    for(int i=0;i<tot;i++)if(i<rev[i])swap(t[i],t[rev[i]]);
    for(int mid=1;mid<tot;mid<<=1){
        cp wn(cos(pi/mid),type*sin(pi/mid));
        for(int j=0;j<tot;j+=(mid<<1)){
            cp w(1,0);
            for(int k=0;k<mid;k++,w=w*wn){
                cp x=t[j+k],y=w*t[j+mid+k];
                t[j+k]=x+y,t[j+mid+k]=x-y;
            }
        }
    }
    if(type==-1)for(int i=0;i<tot;i++)t[i].x/=tot;
}

void solve(){
    fft(a,1),fft(b,1),fft(c,1);
    for(int i=0;i<tot;i++)a[i]=a[i]*c[i],b[i]=b[i]*c[i];
    fft(a,-1),fft(b,-1);
    for(int i=0;i<n;i++)printf("%.3lf\n",a[i].x-b[n-1-i].x);
}

int main(){
    read_and_parse();
    solve();
    return 0;
}