LOJ #2135. 「ZJOI2015」幻想乡战略游戏（点分树）

题意

给你一颗 \(n\) 个点的树，每个点的度数不超过 \(20\) ，有 \(q\) 次修改点权的操作。

需要动态维护带权重心，也就是找到一个点 \(v\) 使得 \(\displaystyle \sum_{v} w_v \times \mathrm{dist}(u, v)\) 最小。

数据范围

\(n \le 10^5, q \le 10^5, \forall v, w_v \ge 0\)

题解

\(\text{Update on 2019.3.29:}\) 似乎可以二叉化就可以不用保证度数了。。

首先了解一个重心的重要性质：

对于一条边 \(x \to y\) 如果 \(x\) 侧子树和 \(>\) \(y\) 侧子树和，那么重心一定在 \(x\) 侧。

值得一提的是这个结论对于 \(\mathrm{dist}^k(x, i)\) 都是成立的，一般情况下都需要快速求出树的带权重心。

利用这个结论可以快速求出 带权重心 。

暴力求的话，在随机数据下表现非常优秀，但是我们明显可以用一些数据结构来优化这个过程，此时不难想到 点分树 。

因为对于上面那个找 带权重心 的过程，我们可以考虑分治解决。

1. 首先先到整棵树的重心，当做分治操作的起点。
2. 每次考虑枚举它所有点分树上的儿子，然后向着 \(sumchild_y * 2 > Sum\) 的方向去走，也就是向着子树权值和大于总权值一半的方向。
3. 然后我们接下来就可以到这个子树所对应的分治中心，继续进行分治操作。
4. 直到这个点在点分树上不存在一个儿子满足 \(sumchild_y * 2 > Sum\) 的要求，此时这个点就是重心。

这样我们最多重复 \(\log n\) 次操作就停下来，接下来我们就是需要动态求一个子树的 \(sum_y\) 。

这个显然可以用树剖线段树等数据结构进行维护，但我们有了点分树显然这样是多余的。

我们考虑对于每个点分树上每个点，维护它子树所有点的 \(w_i\) 的和，记为 \(\displaystyle sum_i = \sum_{v \in child(i)} w_v\) 。

我们每次从 \(x \to y\) 向下分治的时候，令 \(v\) 为 \(x \to y\) 在 原树 路径上除 \(x\) 外第一个点。

我们考虑把 \(v \to y\) 在点分树路径上的所有 \(sum\) 加上 \(sum_x - sum_y\) 也就是 \(x\) 部分的点权。

至于这样为什么是对的。简单说明下，这样就会对接下来所有需要算上 \(x\) 部分贡献的分治重心进行贡献。这样我们就保证了所有要算上的点都是算上的正确的答案。

注意做完后需要减回来。

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然后我们找到了重心，考虑计算答案。

有两种方法。

1. 第一种是类似于 「HNOI2015」开店 其中一个做法，利用满足差分的性质。

   也就是 \(\displaystyle \sum _{i=1}^{n} w_i \mathrm{dist}(x, i) = \sum_{i=1}^{n} w_i(d_i + d_x) - 2 \sum_{i=1}^{n} w_i d_{lca(i, x)}\) 的特性。（此处 \(d_i\) 为 \(i\) 的深度）

   对于每个点将其到根路径链上的点加上 \(w_i\) ，然后询问 \(x\) 到根的路径点权和 \(res\)。

   用 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} w_id_i + (\sum_{i=1}^{n}w_i)d_x\) 减去 \(2res\) 就行了。然后用树剖后，利用线段树就可以动态维护了。

2. 但显然此处，我们还是有着点分树这个强大的树上结构，可以考虑换一种方式来维护。

   我们在之前维护 \(sum_u\) 的基础上，多维护两个东西。

   • \(tot_u\) ：点分树上 \(u\) 的子树里所有点的到 \(u\) 的带权距离和 \(\displaystyle \sum_{v \in child(u)} w_v \times \mathrm{dist}(v, u)\)。
   • \(totfa_u\) ：点分树上\(u\) 的子树里所有点的到 \(u\) 在点分树上的父亲 \(fa\) 的带权距离和 \(\displaystyle \sum_{v \in child(u)} w_v \times \mathrm{dist}(v, fa)\)。

   然后询问 \(pos\) 节点的时候。我们考虑每次在点分树向上跳，并计算贡献。

   假设当前从 \(v \to u\) ，把 \(ans\) 加上 \((sum_{u} - sum_{v}) \times \mathrm{dist}(pos,u)\)　，这个意思就是把 \(v\) 外面所有的点加上这条边权的答案。

   但是这样显然算少了，因为 \(v\) 外面所有点到 \(u\) 的距离没有算上，所以还要加上 \(tot_u - totfa_v\) 这部分贡献就行了。

   注意 \(ans\) 一开始的时候初值是 \(tot_{pos}\) 。

   然后为了代码没有那么毒瘤，对于此处的树上距离，我们可以预处理出每个点到它点分树上的祖先的距离，因为我们只需要用上这些点对的距离。

总结

对于一些动态有关树上距离的问题，我们可以考虑点分树之类的强大数据结构。

然后带权重心都可以满足之前那个性质，可以用点分树上去找。

代码

强烈建议看看我的代码！！ 写的真的优秀！！

#include <bits/stdc++.h>

#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define debug(x) cout << #x << ": " << x << endl
#define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)

using namespace std;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
	int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
	for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
	return x * fh;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("2135.in", "r", stdin);
	freopen ("2135.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = 1e5 + 1e3, M = N << 1;

typedef long long ll;

int Head[N], Next[M], to[M], val[M], e;
inline void add_edge(int u, int v, int w) {
	to[++ e] = v; Next[e] = Head[u]; Head[u] = e; val[e] = w;
}
inline void Add(int u, int v, int w) {
	add_edge(u, v, w); add_edge(v, u, w);
}

#define Travel(i, u, v) for(register int i = Head[u], v = to[i]; i; v = to[i = Next[i]])

bitset<N> vis;
int sz[N], maxsz[N], rt, nodesum;
void Get_Root(int u, int fa = 0) {
	sz[u] = maxsz[u] = 1;
	Travel(i, u, v) if (v != fa && !vis[v])
		Get_Root(v, u), sz[u] += sz[v], chkmax(maxsz[u], sz[v]);
	chkmax(maxsz[u], nodesum - sz[u]);
	if (maxsz[u] < maxsz[rt]) rt = u;
}

ll dis[N][20]; int from[N], cur[N];
void Get_Dis(int u, ll dep, int fa, int anc) {
	if (fa) from[u] = anc, dis[u][cur[u] ++] = dep;
	Travel(i, u, v) if (!vis[v] && v != fa) Get_Dis(v, dep + val[i], u, anc);
}

typedef pair<int, ll> PII;
#define fir first
#define sec second
#define mp make_pair
vector<PII> Sub[N];

void Dfs_Div(int u = 1) {
	vis[u] = true; Get_Dis(u, 0, 0, u);
	Travel(i, u, v) if (!vis[v])
		rt = 0, nodesum = sz[v], Get_Root(v),
		   Sub[u].push_back(mp(rt, v)), from[rt] = u, Dfs_Div(rt);
}

ll sum[N], tot[N], tot_fa[N];
inline void Update(int pos, int uv) {
	tot_fa[pos] += dis[pos][0] * uv;
	for (register int u = pos, dep = 0; u; u = from[u], ++ dep) {
		sum[u] += uv;
		tot[from[u]] += dis[pos][dep] * uv;
		tot_fa[from[u]] += dis[pos][dep + 1] * uv;
	}
}

PII cache[N]; int len = 0;

ll Sum;
int Find_Root(int u) {
	for (PII it : Sub[u]) {
		register int v = it.fir;
		if (sum[v] * 2 > Sum) {
			register int pos; ll sumu;
			for(pos = it.sec, sumu = Sum - sum[v]; pos != from[u]; pos = from[pos])
				sum[pos] += sumu, cache[++ len] = mp(pos, sumu);
			return Find_Root(v);
		}
	}
	return u;
}

int bas;
inline ll Query() {
	register int pos = Find_Root(bas);
	For (i, 1, len) sum[cache[i].fir] -= cache[i].sec; len = 0;

	ll res = tot[pos];
	for (register int u = from[pos], Last = pos, dep = 0; u; u = from[Last = u], ++ dep)
		res += tot[u] - tot_fa[Last] + (sum[u] - sum[Last]) * dis[pos][dep];

	return res;
}

signed main () {

	File();

	int n = read(), q = read();
	For (i, 1, n - 1) {
		int u = read(), v = read(), w = read(); Add(u, v, w);
	}

	maxsz[rt = 0] = nodesum = n; Get_Root(1); Dfs_Div(bas = rt);
	For (i, 1, n) if(cur[i]) reverse(dis[i], dis[i] + cur[i]);

	while (q --) {
		int pos = read(), uv = read();
		Sum += uv; Update(pos, uv);
		printf ("%lld\n", Query());
	}

	return 0;
}