平衡树splay学习笔记#1
这一篇博客只讲splay的前一部分的操作(rotate和splay),后面的一段博客咕咕一段时间
后一半的博客地址:【传送门】
前言骚话
为了学lct我也是拼了,看了十几篇博客,学了将近有一周,才A掉模板题和文艺平衡树。
这一片博客就是写了跟我之前有相同处境的小伙伴们。我尽可能的写的简单一点,在带一点自己学习时候的心得和总结。(难免会有一点冗长,大佬勿喷)
吐槽:splay=cosplay=slay(滑稽)
如要转载,请注明出处和作者:https://www.cnblogs.com/chhokmah/p/10577166.html 。作者chhokmah(扒我的图片的时候要和我说一声,不要把水印删掉了,不要吐槽我的图非常丑陋QwQ)。
简要介绍一下splay
splay(伸展树)是一种二叉搜索树。所谓二叉搜索树,又称作二叉查找树,二叉排序树。
二叉搜索树具有以下的性质:如果左树非空,那么左树中所有的节点所代表的权值都小于根节点的权值。同理右子树中所有节点所代表的权值都大于根节点的权值。和二分查找非常的相似,没错就是参照了二分的思路实现了这种数据结构。(话说二分真的好厉害呀QwQ)。
以下这个图片上显示的就是一棵简单的二叉搜索树,接下来我们都用BST(Binary Search Tree)来简写二叉搜索树。
但是还有一个非常极端的情况,请看下图:
上图描述就是所有树形结构都必须要解决的共同问题,退化成一条链,虽然还是保持的是BST的性质,但是我们查询的复杂度就会变成了\(O(n)\),那么很多BST的操作都可以解决这个问题,比如说treap的随机标记,还有我们今天要讲的splay伸展操作。
话说这东西又是tarjan大佬做出来的,太强了。
来自百度百科的描述:它由丹尼尔·斯立特Daniel Sleator 和 罗伯特·恩卓·塔扬Robert Endre Tarjan 在1985年发明的。%%% orz。
update 2019/3/23
感觉还是要明确一下splay的结构体
struct node {
int val, fa, cnt, sz, ch[2];
void init(int x, int ft) {
fa = ft;
val = x;
ch[1] = ch[0] = 0;
sz = cnt = 1;
}
}
分别解释一下,val表示的是当前节点代表的权值,fa表示这个节点的父亲节点,cnt表示有多少相同的权值,因为在BST中不存在相同的节点,那么就需要把相同的权值都放到相同的节点内,ch[0]和ch[1]分别表示左儿子和右儿子。
Q:为什么很多BST要有旋转(rotate)操作?
A:为了防止出现链的情况,我们需要在保证BST原来的性质的条件下,将BST的结构改掉,这样就不会有链的情况了。
比如说看一下下面这种图片:(给出的样例是Nod是父亲的左儿子,Fa为祖父的左儿子)
天哪我放的有一点快了,但是不影响阅读。我们就将上图左图当做我们现在的BST。
根据BST的性质,容易得出Gf>A>Fa>C>Nod>B。为了改造BST的结构,那么我们就考虑将Nod(当前节点)旋转到父亲节点Fa的位置。
Nod和他的Fa的关系是Nod<Fa,那么如果要让Nod做Fa的父亲的位置,那么Fa一定是Nod的右节点。
因为Fa变成了Nod的一个子节点,那么Gf(祖父节点)的左儿子就变成了Nod节点,说的普遍一点,就是Nod代替了原来自己父亲的位置(大义灭亲)。
再回到Nod原来的子节点,因为维护二叉的性质,那么我们需要让Nod的其中一个儿子变成Fa的儿子。
我们选择了C号节点,因为原来的Nod节点的有儿子就是C节点,而现在被Fa代替掉了。因为C是Nod的子节点,那么C<Fa,因此,C号节点就变成了Fa的左节点,那么原来的B号节点就不需要移动了。
旋转之后得到的就是上面图片的右图,重新审核一下我们图的大小关系。Gf>A>Fa>C>Nod>B,和原来的树是一样的顺序,而且也将原来的那个链的结构改掉了,维护了BST的复杂度。完美؏؏☝ᖗ乛◡乛ᖘ☝؏؏。
还有更多的旋转的情况,以下三种大家可以推一下对照一下是不是这样的:
情况二:Nod是父亲的右节点,Fa是Gf的左节点
情况三:Nod是父亲的左节点,Fa是Gf的右节点
情况四:Nod是父亲的右节点,Fa是Gf的右节点
作为一个合格oier,代码还是需要写的。我们先整理一下rotate
旋转操作的思路吧。
先针对nod节点,我们可以发现nod节点在每一幅图中都有一个节点是不变的,反观我们之前推导的Fa变成nod节点的其中一个子节点可得,nod是fa的哪一个节点,那么nod的哪一个节点就不会改变。另外一个节点就变成了fa的另一个节点。
那么nod节点本身就会变成Gf的一个子节点。
总结一下过程:
1.nod变到原来fa的位置
2.fa变成了 nod原来在fa的 相对的那个儿子
3.fa的非nod的儿子不变 nod的 nod原来在fa的 那个儿子不变
4.nod的 nod原来在fa的 相对的 那个儿子 变成了 fa原来是nod的那个儿子。
给出代码
void rotate(int nod) {
int fa = tr[nod].fa, gf = tr[fa].fa, k = tr[fa].ch[1] == nod;//fa和gf都是上面提到的意思
tr[gf].ch[tr[gf].ch[1] == fa] = nod;//先把fa原来的位置变成nod
tr[nod].fa = gf;//更新父亲
tr[fa].ch[k] = tr[nod].ch[k ^ 1];//nod的与nod原来在fa的相对的那个儿子变成fa的儿子
tr[tr[nod].ch[k ^ 1]].fa = fa;//更新父亲
tr[nod].ch[k ^ 1] = fa;//nod的 与nod原来相对位置的儿子变成 fa
tr[fa].fa = nod;//更新父亲
}
接下来就是splay操作,沃觉得splay操作有两个用处:
- 将某一个节点提到某一个位置
- 维护树的复杂度,这个复杂度指的是查询等其他操作时的时间复杂度。
我们思考一个问题,如果我们需要把一个节点提到某一个需要的位置,也许就是根节点,需要怎么操作。
第一次我想到的就是,不断向上旋转,但是这样是错误的,会T到爆炸。
请看一下下面的图:(这个图实在是太丑了)
还有一个动态图
把一个点双旋到根,可以使得从根到它的路径上的所有点的深度变为大约原来的一半,其它点的深度最多增加2
很明显,我们旋转过后,虽然节点编号之间的顺序发生了变化,但是这条链还依旧是存在的,动态图中更加明显。
为了解决这个问题,我们需要修改一下splay操作,加入判断是否儿子节点是否相同。
- nod和fa分别是fa和gf的同一个儿子
- nod和fa不是fa和gf的同一个儿子
那么对于第一种操作就是先旋转fa,在旋转nod
第二种操作是旋转两遍nod。
代码说话
void splay(int nod, int goal) {//goal表目标节点
while (tr[nod].fa != goal) {
int fa = tr[nod].fa, gf = tr[fa].fa;
if (gf != goal) {
if ((tr[gf].ch[0] == fa) ^ (tr[fa].ch[0] == nod)) rotate(nod);
else rotate(fa);
}
rotate(nod);//再次旋转
}
if (goal == 0) rt = nod;//如果目标节点是0,那么就把根节点变成nod节点
}
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