一模 （6） day1

第一题：

题目大意：

一个n的全排列A[i]是单峰的，当且仅当存在某个x使得A[1]<A[2]<...<A[x]>A[x+1]>...>A[n]。 试求 n 的单峰全排列的个数 mod 1234567。n<=2 000 000 000

解题过程：

1.首先 所谓的 ”峰“ 必定是数字n，那么根据n的位置来讨论，可以发现，n在第i个位置的方案数是  C（n-1，i-1）；因此总方案数就是 sum { C（n-1,0...n-1） }；

根据二项式定理 sum { C（n-1,0...n-1） } = （1+1） ^ (n-1) = 2^（n-1）； 利用快速幂计算即可。

第二题：

题目大意：

有一个 M 行 N 列的点阵，相邻两点可以相连。一条纵向的连线花费一个单位，一条横向的连线花费两个单位。某些点之间已经有连线了，试问至少还需要花费多少个单位才能使所有的点全部连通。 m,n<=1000

解题过程：

1.既然要连通，那么自然想到最小生成树，可是边的数量会很多，而kruskal算法是要用 （ElogE）的时间排序的。肯定超时。

2.进一步思考，边的权值无非只有3种，已经连好的为0，纵向边为1，横向边为2，那么只要按0,1,2的顺序来存就可以得到有序的边集数组了，然后就是传统的kruskal。

第三题：

题目大意：给出n对关系，表示字母X和Y必须相邻（也就是字符串中必须出现过”XY“或者”YX“）， 求出字典序最小的字符串，满足给出的n对关系且长度为n+1；

解题过程：

1.把字母虚拟成点，把关系描述成边，那么本题其实就是求一个欧拉路。

2.求出奇点的个数cnt，如果不为0或者2 就输出无解。

3.如果cnt=0，那么从编码小的字母开始搜即可，如果cnt=2，必须从奇点出发。