Picard 法求方程根
要点:
首先对于任何方程 :f(x)=0 ,可以转换成 f(x)+x-x => f(x)+x=x;
取g(x)=f(x)+x; 那么 新方程g(x)=x 的解即是 f(x)=0的解,即g(x)-x=0 成立时有 f(x)+x-x=0
现在研究g(x)=x 的解,该方程的解对应 函数 y=g(x) 与 函数y=x的交点(x1,y1)的x坐标即x1.
函数y=x 是对称直线,上面的的任意点(xa,ya)有xa=ya.
picard 方法的具体过程是,选任意x=x0(当然实际上是有条件的,见教程例9), 计算x1=g(x0),x2=g(x1)....xn=g(x_n-1)
当xn稳定在某一值附近时,则xn是方程的解(当然数列x0,x1,x2....xn也可能是发散的,即无法取得解,参考例9的说明)
解方程一般过程,如果可能先画出方程对应的函数,找出过零点(根)然后采用近似根按newton法或picard法进行迭代
matlab代码
clc
clear
syms x;
format long
%g=@(x)(log(x)*);
g=@(x)(log(x)-x/+x);
x=;
for i=:: %迭代步数
x=g(x);
end
x
注意上面代码是计算ln(x)/x=1/1000的根 (9121)即方程 ln(x)-x/1000=0 或者 1000ln(x)-x=0;
迭代时使用的函数g(x)=f(x)+x ,即 g(x)=ln(x)-x/1000+x 或者 g(x)=1000 ln(x) -x +x
选择不同的g(x)迭代过程有区别,见下面的讨论。
实际测试:
采用 g(x)=log(x)-x/1000 +x , g'(x)=1/x +999/1000 可见g'(x)始终接近1,下图看到两条曲线重叠
在采用上面代码迭代时,需要20000步左右才迭代到根附近(9118)
采用g(x)=1000ln(x)-x+x 进行迭代,g'(x)=1000/x 当x增大到10000时导数会取值是0.1,故收敛的过程比较快
迭代过程只需10步即可导9118.xxxx
斜率大于1的曲线不动点可以通过求其反函数的不动点来获取
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