2019 ACM/ICPC North America Qualifier G.Research Productivity Index(概率期望dp)

https://open.kattis.com/problems/researchproductivityindex

这道题是考场上没写出来的一道题，今年看看感觉简单到不像话，当时自己对于dp没有什么概念，所以导致考场只能空流泪

首先问期望，肯定就要确定概率。看到这个

就知道肯定一块求是不太好写的，先求上面，上面求发表的期望，那么对于期望我们有e(x) = Σx_ip_i

这里p知道了但是xi不知道，那么我们根据题目描述我们有一个分子一个分母，分子是发表的次数，分母是论文数，首先对于任何j篇论文发表了 i 篇来讲，都无外乎两种情况，一个是上一篇就发表了这么多，这一篇虽然多了一篇论文但没有对论文发表数产生贡献，那么这种情况概率 1- p，第二种情况就是这种发表了，这种情况概率是p

那么状态转移方程显然就有

dp[i][j] = (a[i]) * dp[i - 1][j - 1] + (1 - a[i]) * dp[i - 1][j];//新增没发表和发表

我们要求最大，所以要先从几率大的开始发表，sort一遍（我脑残还降序排了，赶紧reverse），然后不发表的次数initialize一下，求出来上面那一拨东西之后就再转化成发表成功次数，pow函数求解，枚举，看哪个大就可了，真的超级简单一个dp，md去年的没做出来真是耻辱啊啊啊啊

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define limit (100 + 5)//防止溢出
#define INF 0x3f3f3f3f
#define inf 0x3f3f3f3f3f
#define lowbit(i) i&(-i)//一步两步
#define EPS 1e-6
#define FASTIO  ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
#define ff(a) printf("%d\n",a );
#define pi(a,b) pair<a,b>
#define rep(i, a, b) for(ll i = a; i <= b ; ++i)
#define per(i, a, b) for(ll i = b ; i >= a ; --i)
#define MOD 998244353
#define traverse(u) for(int i = head[u]; ~i ; i = edge[i].next)
#define FOPEN freopen("C:\\Users\\tiany\\CLionProjects\\acm_01\\data.txt", "rt", stdin)
#define FOUT freopen("C:\\Users\\tiany\\CLionProjects\\acm_01\\dabiao.txt", "wt", stdout)
#define debug(x) cout<<x<<endl
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
inline ll read(){
    ll sign = 1, x = 0;char s = getchar();
    while(s > '9' || s < '0' ){if(s == '-')sign = -1;s = getchar();}
    while(s >= '0' && s <= '9'){x = (x << 3) + (x << 1) + s - '0';s = getchar();}
    return x * sign;
}//快读
void write(ll x){
    if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
    if(x / 10) write(x / 10);
    putchar(x % 10 + '0');
}
int n;
double a[limit];
double dp[limit][limit];//代表在i篇论文发表了j篇，
int main() {
#ifdef LOCAL
    FOPEN;
#endif
    n = read();

    rep(i ,1,n){
        a[i] = (1.0 * read()) / 100;
    }

    sort(a + 1, a + 1 + n);
    reverse(a + 1, a + 1 + n);
    dp[0][0] = 1;
    dp[1][1] = a[1];
    dp[1][0] = 1 - a[1];
    rep(i ,2,n)dp[i][0] = dp[i - 1][0] * (1 - a[i]), dp[i][i] = dp[i - 1][ i - 1] * a[i];
    rep(i ,1,n){
        rep(j, 1,i){
            dp[i][j] = (a[i]) * dp[i - 1][j - 1] + (1 - a[i]) * dp[i - 1][j];//新增没发表和发表
        }
    }
    double ans = 0;
    rep(i ,1,n){
        double tmp = 0;
        rep(j, 1,i){
            tmp += dp[i][j] * pow(j,1.0 * j / (1.0 * i));
        }
        ans = max(tmp, ans);
    }
    cout<<fixed<<setprecision(6)<<ans<<endl;
    return 0;
}