高斯消元初步（Gauss算法）

Gauss算法，称为高斯消元算法，用来解决n元一次方程，在解决线性方程问题起着重要作用。

简述

　　运用高斯消元的方法，我们可以在O(n3)的时间求出n元线性方程，但是由于时间复杂度的原因，请注意题目数据范围的提示。

　　高斯消元三大定理（在小学就学过了吧）：

　　　　1.两个方程互换位置，解不变；

　　　　2.一个方程进行加减乘除，解不变；

　　　　3.一个方程乘上数k加上另一个方程，解不变；

　　这便是我们解决的基础；

过程：

　　这里给出luogu例题链接，这样方便寻找；

　　我们这里不用luogu的样例示范（因为不是整数好麻烦），这里给出方程

　　2 x + 3 y - z = 21;

　　x + 2 y + 2 z = 7;

　  3 x + y + 5 z = 8;　

　　我们将系数提出，然后就可以得到一个3 * 3的矩阵，之后将每个方程等号右边放到矩阵的最右边，就得到了：

　　

　　这里每个方程的结果与系数我用黑线隔开了，想必也更清楚；

　　有了定理，我们理一下目标：

　　我们如果将每一个方程只留下一个未知数的系数，那么最后就可以求解了，如：

　　

　　当然系数不一定只会是1，但是只要除一下就好，根据这个定义，我们将第 i 个未知数的前系数非零而且其他系数都为零，这个系数在矩阵的位置为 i ，i；

　　这样的矩阵称为“简化阶梯矩阵”；

　　我们只要将每个矩阵化成简化阶梯矩阵即可；

步骤：

　　1.枚举第 i 个未知数（外循坏）；

　　2.决定在哪一行求解这个未知数：

　　　　这里采用先对每一行 j 第 i 个系数找到最大值，有最大值的这一行定义为第ms行（名字随便起的，没有其他意思），然后将第ms行交换至第 i 行

　　3.判断第i行第i个数的值是否为0，这里由于数学期望和精度问题，我们将这个判断改为这个数的值是否小于我们定义的那个精度，如果小于（那就相当于为0了），

　　　　那么无解（因为这个项的系数是所有中最大的，所以其他的也都为0，一定无解）；

　　4.然后进行消元，就是将其他方程这个项的系数归0，这里有精度问题，但是从期望来讲，是不成问题的；

Code：

　　（我才不会说其实我有模拟操作但是太麻烦不想写了。。。）

　　不过我很良心，所以我有输出模拟，运行一下我的代码就行了；

　　

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 107
#define db double
using namespace std;
int n;
const db cmp=1e-8;
db a[maxn][maxn];

//模拟啦 biu~
void biu(int x){
    printf("work %d \n",x);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
         cout<<a[i][j]<<" ";
         cout<<endl<<endl;
    }
} 

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
            scanf("%lf",&a[i][j]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int ms=i;
        for(int j=i;j<=n;j++)
            if(fabs(a[j][i])>fabs(a[ms][i]))
                ms=j;
        if(fabs(a[ms][i])<cmp){
            puts("No Solution");
            return 0;
        }
        for(int j=1;j<=n+1;j++)
            swap(a[i][j],a[ms][j]);
        biu(2);
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(j==i) continue;
            db rate=a[j][i]/a[i][i];
            for(int k=i+1;k<=n+1;k++)
                a[j][k]-=a[i][k]*rate;
        }
        biu(4);//良心模拟。。。
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.2f\n",a[i][n+1]/a[i][i]);
    return 0;
}

例题

　　P4035 [JSOI2008]球形空间产生器

题目描述

有一个球形空间产生器能够在 nnn 维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个 nnn 维球体中，你只知道球面上 n+1n+1n+1 个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个 nnn 维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

输入格式

第一行是一个整数 nnn (1<=N=10)(1<=N=10)(1<=N=10)。接下来的 n+1n+1n+1 行，每行有 nnn 个实数，表示球面上一点的 nnn 维坐标。每一个实数精确到小数点后 666 位，且其绝对值都不超过 200002000020000。

输出格式

有且只有一行，依次给出球心的 nnn 维坐标（ nnn 个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点后 333 位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

　　这个只要构造出矩阵即可；

　　可惜我不会在博客上用数学公式。。。

　　所以就随便写写了；

　　设xi为第i维的坐标；

　　sum(j=1,n) { (a[ i , j ] - x [ j ]) }=r^2;

　　这样的方程共有11个，我们要将r消掉，所以将相邻的两个方程相减，得到11个方程，然后将多项式拆开，合并，移项得到；

　　sum(j=1,n){ 2*(a[ i , j ] - a[ i + 1 , j ) * x [ j ] } = sum(j=1,n){ a[ i , j ] - a[ i + 1 , j ] };

　　这样就可以将左边的作为方程左边，右边作为结果，列出矩阵，这里还不需要检验，直接上代码。。。

　

#include<bits/stdc++.h>
#define db double
using namespace std;
int n;
db a[17][17],c[17][17];
const db cmp=1e-8;
db calc(db x){return x*x;}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n+1;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            scanf("%lf",&a[i][j]);
            if(i==1) continue;
            c[i-1][j]=2*(a[i-1][j]-a[i][j]);
            c[i-1][n+1]+=calc(a[i-1][j])-calc(a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int ms=i;
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(fabs(c[j][i])>fabs(c[ms][i])) ms=j;
        if(ms!=i) for(int j=1;j<=n+1;j++)
            swap(c[i][j],c[ms][j]);
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i==j) continue;
            db rate=c[j][i]/c[i][i];
            for(int k=i+1;k<=n+1;k++)
                c[j][k]-=c[i][k]*rate;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.3f ",c[i][n+1]/c[i][i]);
    return 0;

}

其实还有一些拓展内容，到时候再补充。。。