NOI 2021 补全记录

来补题了昂。

D1T1 轻重边

对于原树进行重链剖分，使用一颗线段树维护每一条重边是否时“重边”，然后对于轻边，在父亲出维护最后一次通过 $1$ 操作清空“重边”的时刻，在查询时只会遇到 $O(\log n)$ 条轻边，直接查询这个轻边时“重边”的时刻是否晚于父亲清空的时刻即可。

D1T2 路径交点

LGV 引理板子题，记 $e_{u,v}$ 表示从 $u$ 走到 $v$ 的方案数，则最终答案就是：

\[\begin{vmatrix}
e_{u_1,v_1}&e_{u_1,v_2}&\dots &e_{u_1,v_n}\\
e_{u_2,v_1}&e_{u_2,v_2}&\dots &e_{u_1,v_n}\\
\vdots&\vdots&\ddots &\vdots\\
e_{u_n,v_1}&e_{u_n,v_2}&\dots &e_{u_1,v_n}\\
\end{vmatrix}\]

的值，直接求解即可。

D1T3 庆典

首先对图进行缩点，得到一张 DAG，我们原题需要维护的东西与连通性有关，所以考虑在不影响连通性的情况下改变这个图的结构。

考虑题设给出的性质：如果 $x\to z$ 且 $y\to z$，则有 $x\to y$ 或 $y\to x$。

不妨设为 $x\to y$，则删去边 $x\to z$ 不影响图的连通性，由此，我们可以不断调整结构将原图变成一棵外向树。

现在考虑加入 $k$ 条边后的问题，实际上被影响到的点只有那 $2k+2$ 的点，对于这些点建立虚树，对正反边各跑一次管搜即可。

由于数据随机生成，所以可以认为单词是均匀分布的，由于被影响的位数 $\le 15$，所以将所有的单词 $16$ 位一段，则至少有一段适合某个单词完全相同的。所以只需要查这些单词即可，考虑单次需要查询的个数：$\dfrac{n}{2^{16}}\times 16=\dfrac{n}{4096}$ 个，使用 bitset 优化查询，时间复杂度为 $\dfrac{nm}{16w}$，可以通过。

D2T2 密码箱

通过推式子，发现 E 操作完全等价于维护后者，即

先给数列的最后一项减 $1$，接着在数列尾再加两项，两项的值都是 $1$。

则目前所有的操作均为对最后一项进行修改，发现可以实时维护后缀操作得到的分数 $\dfrac{A}{B}$ 的 $A$ 和 $B$ 分别是多少。

具体的，这两个矩阵为 $\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}2&-1\\1&0\end{bmatrix}$。

使用支持区间翻转的平衡树维护即可，时间复杂度 $O(n\log n)$。

D2T3 机器人游戏

考虑容斥，记 $cnt(S)$ 为选择 $S$ 这些位置为起点合法的纸条方案数，则最终答案为 $\sum\limits_{S}(-1)^{|S|+1}cnt(S)$。

对于一个机器人的操作，均可以被描述成四种：$0$，$1$，$x$ 和 $1-x$，分别表示修改成 $0$，修改成 $1$，不改变和反转。

我们钦定 $S$ 中最大的位置为 $p$，我们对于这个 $p$ 的位置进行 DP，则所有机器人的操作长度应 $\le n-p+1$，同时最多只有前 $p$ 位可能被操作，所以实际上会影响到当前位的只有 $\min(n-p+1,p)\le \dfrac{n}{2}$ 位，考虑设计状态 $f_{i,S}$ 表示处理到了第 $i$ 位，前若干位选择状态为 $S$ 的带符号和。

发现如果同时出现 $0$ 和 $1$，或者同时出现 $x$ 和 $1-x$ 这两对相互矛盾的，则只能选择空到空，有 $1$ 种方案。

如果 $0$，$1$ 与 $x$，$1-x$ 各出现一个，如果不为空，则可能的状态就确定了，有 $2$ 种方案。

其他情况下，每一个输入会对应唯一的输出，有 $3$ 种方案。

只需要对所有满足操作长度 $\le n-p+1$ 的统计出分别有多少个满足上述条件的方案即可，使用 bitset 优化，时间复杂度为 $O(\dfrac{nm2^{\frac{n}{2}}}{w})$。