#数学期望，高斯消元#洛谷 3232 [HNOI2013]游走

题目

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分析

如果计算出边的期望经过次数那就可以算出来答案

首先转换成点的期望经过次数，设\(dp[x]\)表示点\(x\)的期望经过次数

那么\(dp[x]=\sum_{y\in son}\frac{dp[y]}{deg[x]}+(x==1)(1\leq x<n)\)

可以用高斯消元解决，那么边的期望经过次数就是\(\frac{dp[u]}{deg[u]}+\frac{dp[v]}{deg[v]}\)

将其排个序就可以确定边的编号了

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代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define rr register
using namespace std;
const int N=511;
struct node{int y,next;}e[N*N];
double a[N][N],f[N*N],ans;
int n,m,k,deg[N],ls[N];
inline signed iut(){
    rr int ans=0; rr char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) c=getchar();
    while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
    return ans;
}
inline void add(int x,int y){
    e[++k]=(node){y,ls[x]},ls[x]=k,
    e[++k]=(node){x,ls[y]},ls[y]=k;
}
inline void Gauss(int n){
    for (rr int i=1;i<=n;++i){
    	rr int p=i;
    	for (rr int j=i+1;j<=n;++j)
    	if (fabs(a[j][i])>fabs(a[p][i])) p=j;
    	if (p!=i) for (rr int j=1;j<=n+1;++j) swap(a[i][j],a[p][j]);
    	for (rr int j=1;j<=n;++j)
		if (i!=j){
    		rr double elim=a[j][i]/a[i][i];
    		for (rr int k=i;k<=n+1;++k)
    		    a[j][k]-=elim*a[i][k];
		}
	}
}
signed main(){
    n=iut(),m=iut(),k=1;
    for (rr int i=1,x,y;i<=m;++i)
        ++deg[x=iut()],++deg[y=iut()],add(x,y);
    for (rr int i=1;i<n;++i){
        a[i][i]=1.0;
        for (rr int j=ls[i];j;j=e[j].next)
        if (e[j].y!=n) a[i][e[j].y]=-1.0/deg[e[j].y];
    }
    a[1][n]=1,Gauss(n-1);
	for (rr int i=1;i<n;++i)
    for (rr int j=ls[i];j;j=e[j].next)
    if (e[j].y!=n) f[j>>1]+=a[e[j].y][n]/a[e[j].y][e[j].y]*(1.0/deg[e[j].y]);
        else f[j>>1]+=a[i][n]/a[i][i]*(1.0/deg[i]);
    sort(f+1,f+1+m);
    for (rr int i=1;i<=m;++i) ans+=((m-i+1)*1.0)*f[i];
    return !printf("%.3f\n",ans);
}