关于快速沃尔什变换（FWT）的一些个人理解

定义

FWT是一种快速完成集合卷积运算的算法。

它可以用于求解类似 $C[i]=\sum\limits_{j⊗k=i}A[j]*B[k]$ 的问题。

其中⊗代表位运算中的|，&，^的其中一种。

求解（正变换）

设F（A）是对于A的一种变换。

并且F（A）要求满足： 　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　$F(A)*F(B)=F(A⊗B)$ ①

　　　　　　　　　　　　　　  $k*F(A)=F(k*A)$   ②

 　　　　　　　　　　　　　　$F(A+B)=F(A)+F(B)$  ③ （A,B长度相同）

鉴于FWT和FFT长得特别像（而且求解的问题也比较类似），我们可以借鉴一下FFT的思路，采用分治的想法。

首先先把多项式的长度用0补到2ⁿ，即多项式A为a₀+a₁x+a₂x²+.....+a_2ⁿ-1x^{2^n-1}。

我们可以将多项式A拆成A₀和A₁。A₀为多项式下标二进制最高位为0的部分，A₁即为多项式下标二进制最高位为1的部分。

则A=（A₀,A₁)。  （ps:此处的括号意为将A0，A1拼起来。）

我们猜测F(A)=(k₁*F(A₀)+k2*F(A₁),k₃*F(A₀)+k₄*F(A₁))，其中当A的长度为1时，F(A)=A

对于②式证明如下：

　假设A的长度为2ⁿ，

　由原式得：(k₁*F(A₀)+k₂*F(A₁),k₃*F(A₀)+k₄*F(A₁))*k=

　　　　　　　　(k₁*F(k*A₀)+k₂*F(k*A₁),k₃*F(k*A₀)+k₄*F(k*A₁))

　则若要证明k*F(A)=F(k*A)，我们需要证明的是F(k*A')=k*F(A'),其中A'的长度为2^n-1。按照此方法递归直到A的长度为1，因为k*A=k*A，所以k*F(A)=F(k*A)。证毕。

对于③式证明如下：（其实和②式的证明一样的）

　假设A，B的长度为2ⁿ。

　由原式得：(k₁*F(A₀+B₀)+k₂*F(A₁+B₁),k₃*F(A₀+B₀)+k₄*F(A₁+B₁))=

(k₁*F(A₀)+k₂*F(A₁),k₃*F(A₀)+k₄*F(A₁))+(k₁*F(B₀)+k₂*F(B₁),k₃*F(B₀)+k₄*F(B₁))　

　则若要证明F(A+B)=F(A)+F(B)，需要条件F(A'+B')=F(A')+F(B'),其中A'的长度为2^n-1。照此方法递归，同理可证明。

　　

如今我们证明了②③的正确性，以下计算是为了确保①正确。

（以下计算以异或为例）

由　　　　　　　　F(C)=F(A)*F(B)

　　　　　　C=A⊗B→ (A₀,A₁)⊗(B₀,B₁)=（A₀⊗B₀+A₁⊗B₁,A₁⊗B₀+A₀⊗B₁) 

可以得出  （以下我们以k₁,k₂为例）

　　F(A)的前半部分                     F(B)的前半部分      F(C)的前半部分

           ↓                                                      ↓                        ↓

　（k₁*F(A₀)+k₂*F(A₁))*（k₁*F(B₀)+k₂*F(B₁))

　　　　　　　　　　　　=k₁*F(A₀⊗B₀+A₁⊗B₁)+k2*F(A₁⊗B₀+A₀⊗B₁)

所以          k₁²F(A₀⊗B₀)+k₁k₂*F(A₀⊗B₁)+k₁k₂*F(A₁⊗B₀)+k2²F(A₁⊗B₁)

　　          =k₁*F(A₀⊗B₀)+k₂*F(A₀⊗B₁)+k₂*F(A₁⊗B₀)+k₁*F(A₁⊗B₁)

                        可得k₁²=k₁,k₁k₂₌k₂,k₂²₌k_1。

　　　　　　　　　　　　解得k₁,k₂为(0,0)或(1,1)或(1,-1)

由于我们的操作必须可逆，所以排除掉(0,0),并且(k₁,k₂)(k₃,k₄)不相等。所以我们可以令k₁=k₂=k₃=1，k₄=-1。

　　　则逆变换的时候，k₁=k₂=k₃=1/2，k₄=-1/2（这个解一下方程就可以算出来了）。

如果是|或者&运算，将红色部分修改为：

　　| ：(A₀,A₁)⊗(B₀,B₁)=（A₀⊗B₀,A₁⊗B₀+A₀⊗B₁+A₁⊗B₁) 

　　& : (A₀,A₁)⊗(B₀,B₁)=（A₀⊗B₀+A₁⊗B₀+A₀⊗B₁,A₁⊗B₁)

　　以下代码都以异或为例

void fwt(int *a,int len)//xor
{
    for (int i=;i<len;i<<=)
        for (int j=;j<len;j+=i*)
            for (int k=;k<i;k++)
            {
                int u=a[j+k],v=a[j+k+i];
                a[j+k]=u+v;a[j+k+i]=u-v+mod;
                if (a[j+k]>mod) a[j+k]-=mod;
                if (a[j+k+i]>mod) a[j+k+i]-=mod;
                // or:a[j+k+i]=u+v;
                // and:a[j+k]=u+v;
            }
}

　　FWT逆变换代码（以异或为例）

void ufwt(int *a,int len)
{
    for (int i=;i<len;i<<=)
        for (int j=;j<len;j+=i*)
            for (int k=;k<i;k++)
            {
                int x=a[j+k],y=a[j+k+i];
                a[k+j]=(x+y)*inv2%mod;
                a[j+k+i]=(x-y+mod)*inv2%mod;
            }
}

　　其中的inv2为2的逆元。如果题目没有要求将答案除以某数，也可以写作：a[k+j]=(x+y)/2，a[k+j+i]=(x-y)/2

一个神神秘秘的问题

　　学习FWT的时候我比较好奇一个问题。在正变换的时候我们先处理F(A₀),F(A₁)后处理F(A),那为什么我们在求逆变换的时候不需要先求F(A)的逆变换再处理F(A₀),F(A₁)的。。。

　　请大佬不吝赐教。

本篇博客参考hy大佬的博客http://www.cnblogs.com/yoyoball/p/9260176.html。对于其一些我不太理解的地方加了证明和改动。如果有错误之处还请多多包涵。