洛谷1066 2^k进制数

原题链接

大力猜结论竟然猜对了。。

对于一对\(k,w\)，我们可以把\(w\)位划分成\(k\)位一段的形式，每一段就是转换成十进制后的一位，这个从题面的解释中应该可以理解。

先不考虑可能多出（即剩余不足以划成\(k\)位）的一段，这样使得每一位的枚举上界都是\(2 ^ k - 1\)，然后我们枚举几位数。

• \(2\)位数
  
  十位为\(1\)，显然个位只能为\(2\sim 2 ^ k - 1\)，共\(2 ^ k - 2\)种。
  
  十位为\(2\)，显然个位只能为\(3\sim 2 ^ k - 2\)，共\(2 ^ k - 3\)种。
  
  \(\dots\)
  
  这么递推下去，在\(2\)位数的情况下，共\(\sum \limits _{i = 1} ^ {2 ^ k - 2}i\)种。
• \(3\)位数
  
  百位为\(1\)，显然十位只能为\(2\sim 2 ^ k - 2\)，这时我们考虑去取之前计算\(2\)位数得到的结果，因为十位从\(2\)开始，所以共\(\sum \limits _{i = 1} ^ {2 ^ k - 3}i\)种。
  
  百位为\(2\)，显然十位只能为\(3\sim 2 ^ k - 2\)，共\(\sum \limits _{i = 1} ^ {2 ^ k - 4}i\)种。
  
  \(\dots\)
  
  递推下去，在\(3\)位数的情况下，共\(\sum \limits _{i = 1} ^ {2 ^ k - 3} \sum \limits _{j = 1} ^ i j\)种。
• \(4\)位数
  
  同样如上考虑，共\(\sum \limits _{i = 1} ^ {2 ^ k - 4} \sum \limits _{j = 1} ^ i \sum \limits _{k = 1} ^ {j} k\)种。
  
  \(\dots\)

而这个一堆\(\sum\)的式子其实就相当于每次进行前缀和操作，于是我们就可以依照上面的模式递推下去了。

初始化\(i = 1 \to 2 ^ k - 1,S[i] = i\)。

枚举位数，再枚举首位（注意上界，要保证后面每一位都能填数），累计贡献，然后对\(S\)数组进行前缀和操作即可。

然后考虑不能划分成\(k\)位的那一段，其实只需单独拎出来进行单独枚举计算贡献即可（其实只是改个上界而已）。

因为数据较大，所以要用高精。

我的高精是直接\(copy\)我的高精模板（太懒了

部分细节可看代码。

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 210;
const int M = 520;
const int base = 1e8;
struct bigint {//高精模板
	int s[N], l;
	void CL(){ l = 0; memset(s, 0, sizeof(s)); }
	void pr()
	{
		printf("%d", s[l]);
		for (int i = l - 1; i; i--)
			printf("%08d", s[i]);
	}
	ll toint()
	{
		ll x = 0;
		for (int i = l; i; i--)
			x = x * base + s[i];
		return x;
	}
	bigint operator = (int b)
	{
		CL();
		do
		{
			s[++l] = b % base;
			b /= base;
		} while (b > 0);
		return *this;
	}
	bigint operator + (const ll &b)
	{
		bigint c = *this;
		ll x = b;
		for (int i = 1; i <= l && x; i++)
		{
			x = x + c.s[i];
			c.s[i] = x % base;
			x /= base;
		}
		if (x)
			c.s[++c.l] = x;
		return c;
	}
	bigint operator + (bigint &b)
	{
		if (b.l < 3)
			return *this + b.toint();
		bigint c;
		ll x = 0;
		int k = l < b.l ? b.l : l;
		c.CL();
		c.l = k;
		for (int i = 1; i <= k; i++)
		{
			x = x + s[i] + b.s[i];
			c.s[i] = x % base;
			x /= base;
		}
		if (x)
			c.s[++c.l] = x;
		return c;
	}
};//以上都是高精模板
bigint s, S[M];
inline int re()
{
	int x = 0;
	char c = getchar();
	bool p = 0;
	for (; c < '0' || c > '9'; c = getchar())
		p |= c == '-';
	for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
		x = x * 10 + c - '0';
	return p ? -x : x;
}
int main()
{
	int i, j, k, w, n, o;
	k = re();
	w = re();
	o = 1 << k;
	n = w / k + (w % k ? 1 : 0);//划分段数
	w = w % k ? (1 << (w % k)) - 1 : o - n;//计算多出一段的上界，如果没有多出，那上界就是2 ^ k - n，因为要保证后面每一位都能填数。
	if (n > o - 1)//若划分出来的段数多于2 ^ k - 1段，这多余的就是没有用的
	{
		n = o - 1;
		w = o - n;
	}
	for (i = 1; i < o; i++)//初始化
		S[i] = i;
	for (s = 0, i = 2; i <= n; i++)//枚举位数
	{
		if (i < n)
			for (j = 1; j <= o - i; j++)//枚举首位填什么数，上界为2 ^ k - i
				s = s + S[o - i - j + 1];//后一位能填j + 1 ~ (2 ^ k - 1) - (i - 1)，共2 ^ k - i - j + 1种
		else//特判最后一段，改上界
			for (j = 1; j <= w; j++)
				s = s + S[o - i - j + 1];
		for (j = 1; j <= o - i; j++)//计算前缀和
			S[j] = S[j] + S[j - 1];
	}
	s.pr();
	return 0;
}