Petrozavodsk Summer Training Camp 2017 Day 9

Problem A. Building

题目描述：给出一棵树，在树上取出一条简单路径，使得该路径的最长上升子序列最长，问最长的长度。

solution
最常见的想法就是树状dp，但空间不太够，所以选择直接计数。

每个点记住两个$vector(f, g)$，$f_i$表示从叶子到$i$的最长的递增序列，$g_i$表示从叶子到$i$的最长的递减序列。

当算以$i$为根的子树的答案时，假设做到儿子$j$，算$f[i]$与$g[j]$组成的最长递增序列，以及$f[j]$与$g[i]$的最长递增序列。算的时候一个序列枚举每个数，然后在另一个序列二分出位置，即可更新答案，而枚举的序列要选短的那个，这样时间复杂度就能保证为$log^2n$，还要注意答案序列经过$i$的情况。

然后就是将$f[i]、f[j]$，$g[i]、g[j]$合并。拿$f[i]、f[j]$合并为例子，合并的时候直接取对应位置的最小值即可，即：

2 3 4 6 7
1 2 5 8

合并为1 2 4 6 7.
对于$f$序列，数越小越好，因为对于相同的位置$k$，它在答案序列的位置就是$k$，这是固定的，而数越小，就可以在$g$找到更多的数来拼成序列，得到更大的答案。
同样的道理，对于$g$中的数找$f$对应的位置，对于相同的数，$f$的数越小，二分出的位置不会更差，反而有可能更优。
因此对于$g$序列，数越大越好。

时间复杂度：$O(nlog^2n)$

Problem B. Fish

题目描述：有$n$条鱼，每条鱼的长度为$L_i$，颜色是$c_i$，颜色只有三种('R', 'G', 'B')。现要取出一个非空子集，使得任意一条鱼的长度小于任意一条鱼的长度的两倍，假设选出的子集的每种颜色数目为三元对$(x, y, z)$，问三元对的数目。

solution
将鱼按长度从小到大排序，对于每条鱼$i$，找到最大的$j$，满足$L_j<L_i*2$，部分和求出$[i, j]$的每种颜色的数目$(x_i, y_i, z_i)$。问题转化为有$n$个三元对$(x_i, y_i, z_i)$，求三元对$(x, y, z)$的数目，满足存在一个$i$，$x \leq x_i, y \leq y_i, z \leq z_i$。

这就跟codeforces上的一道题很像(Karen and Cards)，至少思路很像。

这里我们将三元对从大到小排序，记每个$y$对应的最大的$z$为$maxz[y]$。对于每一个$x$，用$x_i==x$的三元对更新$maxz[y]$，这里要利用$maxz[y]$的一个特点：$maxz[y]$是递减。所以可以二分出要更新的区间，然后用线段树维护$maxz[y]$。然后对于$x$，答案就是$\sum maxz[y]$。

时间复杂度：$O(nlogn)$

Problem C. JOI Flag

题目描述：定义$level-K$的$JOI Flag$：

一个$level-0$的$JOI Flag$是一个$1 \times 1$的网格图，包含'J', 'O', 'I'其中一个字母。
当$m>0$时，一个$level-m$的$JOI Flag$是一个$2^m \times 2^m$的网格图，能分成四个$2^{m-1} \times 2^{m-1}$的网格图：一个是$level-m-1$的$JOI Flag$，一个全是'J', 一个全是'O'，一个全是'I'。
现在有一个$2^K \times 2^K$的网格图，里面有些格子的字母是确定的，未知的位置可以随便填字母而不需要花费，改变已知的字母则需要花费$1$。问将这个网格图变成一个$level-K$的$JOI Flag$需要的最小花费。

solution
因为已知的字母比较少，所以可以直接暴力搜索。

时间复杂度：$O(4!NK)$

Problem E. Rotate

题目描述：给出一个$N \times N$的网格图，每个格子有一个小写字母。现在有$Q$次操作，每次操作选择一个子方阵，将子方阵逆时针旋转$90^{\circ}$。输出最后的网格图。

solution
一开始的想法是将每一行，每一列压位，然后暴力旋转，时间复杂度是$O(QN^2/13)$。但写起来非常恶心。

在网格图外围再围一层，变成$(N+2) \times (N+2)$的网格图，然后从$0$到$n*n-1$编号$(n=N+2)$，记录每个编号$i$，左上右下的编号。

当进行一次旋转操作时，只有子方阵的边界的左上右下的编号会改变，子方阵内部的也会改变，但改变的只是编号对应的方向，也就是说还是那四个编号，只是方向发生了改变，而且这个改变是轮换，即方向的相对位置没有发生变化。例如：

只要是沿当前方向向前走，不管是从$0$进来还是$1$进来，都是从$+2$的位置出去，只要是右拐，都是从$-1$的位置出去。所以每次只需要修改子方阵边界的各个方向的编号，内部的不需要修改。

定位子方阵的左上角时，从$0$开始向右走（最外围不会被改变），走到对应列右拐，向前走走到对应行，然后围着子矩阵边界转一圈。注意这里行走时用的描述都是向前，拐弯，不是上下左右，因为只能保证相对位置不变，去哪一个编号也跟从哪里来有关。输出答案时从每一行的边界开始向右（最左边一列不变）前进即可。

时间复杂度：$O(QN)$

Problem F. Fortune Telling

题目描述：有一个$M \times N$的网格图，每个格子开始时都是白色，现在有$K$个操作，每次操作将一个子矩阵的颜色翻转，即黑变白，白变黑。问最终有多少个格子是白色。

solution
离散化+扫描线+线段树。

时间复杂度：$O(nlogn)$

Problem G. Kangaroo

题目描述：有$n$只袋鼠，每只袋鼠的大小为$A_i$，袋子的大小为$B_i$。每只袋鼠只能装一只袋鼠，但允许那只袋鼠的袋子里也有袋鼠，当$A_j<B_i$时，袋鼠$j$就能装到$i$的袋子里。问最后的状态有多少种（能装就要装）。

solution
转队友的题解

Problem I. Chinese

题目描述：在圆桌上等分地放着$n$盘菜，顺时针或逆时针旋转一个单位需要一个花费。现在给出$2$~$n$每个人要吃的菜，开始时第$i$个人对着第$i$盘菜，第一个人最先吃（对着就能吃），吃完后其他人再吃，其他人吃时不分顺序，输出当第一个人吃第$i$盘菜时，所有人吃完菜的最少花费。

solution
算出从初始开始顺时针转，使得第$i$个人吃上菜的花费$a_i$，因为是环，惯用技巧是将$a$数组复制一遍在后面。
枚举$i$($1$~$2*n-1$)表示第一个人吃第$i$盘菜，求出$j$使得$\sum_{k=i}^{j} a_k==n-1$，则$j-i$是一种方案，假设$x$为$i-1$时的最优方案，则$x+1$也是一种方案，即花费$1$转回去，然后用$i-1$时的最优方案。
反过来枚举$i$($2*n$~$1$)，然后按上述的做法重做一次，表示逆时针转。
这两种方法已经涵盖了所有的最优方案。当第一个人吃第$i$盘菜时，方案有四个：1、顺时针转，2、逆时针转，3、先顺时针转再逆时针转，4、先逆时针转再顺时针转。而上述方法中的花费$1$转回去，就是方案3、4。

时间复杂度：$O(n)$