【2021.6.26 NOI模拟】Problem B. 简单题 another solution

Problem Description

Input

从文件 b.in 中读入数据。

一个正整数 n。

Output

输出到文件 b.out 中。

一个整数表示答案。

Sample Data

Input #1 Copy

5

Output #1 Copy

31

Input #2 Copy

50

Output #2 Copy

2885

Data Constraint

首先，我们从小到大枚举 \(n\)，假设当前枚举到 \(i\)，\(S\) 会多出两个数 \(2i-1\) 和 \(2i\)。因为要插入其中一个到 \(A\) 中，还要使得和尽量小，所以我们选择向 \(A\) 插入 \(2i-1\)。

此时，\(A\) 中可能会出现 \(2i-1\) 的因子（不是质因子），那么我们就枚举出这些因子并把它们从 \(A\) 中移除。

假设我们移除了 \(x\) 个因子，那么 \(A\) 的大小就会减少 \(x\)。所以我们还要再插入 \(x\) 个数。这些数就选作刚刚我们移除的数的倍数。

因为 \(A\) 中不会同时出现倍数，所以我们插入每个被移除数最小的倍数——它们的 \(2\) 倍。

插入了部分数后，我们同样也要担心这些数是否在 \(A\) 中有因子，所以我们重复上面的操作：找因子，从 \(A\) 中移除，将这些移除的数的 \(2\) 倍加入 \(A\) 中。具体 dfs 就可以。因为每个数都只会进行一次这个操作，所以时间复杂度是 \(O(n\times 找因子时间)\) 的。实现较差可以做到 \(O(n\sqrt{n})\)，但如果你的实现比较好，比如枚举每个数的倍数加入，可以做到 \(O(n\ln n)\) 的。这个做法不知道比正解差多少倍，但是想起来简单，没有弯路。但是需要注意常数。比如用链式前向星代替 vector。

#include <cstdio>
#include <vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define N 1000010
ll n, ans, a[N];
ll head[N], nxt[13470035], to[13470035], cnt;
void addEdge(ll u, ll v) {
	cnt ++;
	to[cnt] = v;
	nxt[cnt] = head[u];
	head[u] = cnt;
}
void init() {
	for(ll i = 1; i <= n; i ++) {
		addEdge(i, 1);
		for(ll j = 2; i * j <= 2 * n; j ++) {
			addEdge(i * j, i);
		}
	}
}
void dfs(ll x) {
	for(ll j = head[x]; j; j = nxt[j]) {
		ll i = to[j];
		if(a[i]) {	// 有因数，除掉
			a[i] = 0;
			ans -= i;
			a[i * 2] = 1;
			ans += i * 2;
			dfs(i * 2);
		}
	}
}
int main() {
	freopen("b.in", "r", stdin);
	freopen("b.out", "w", stdout);
	scanf("%lld", &n);
	init();
	a[1] = 1;
	ans = 1;
	for(ll i = 2; i <= n; i ++) {
		ans += 2 * i - 1;	// 必须加入
		a[2 * i - 1] = 1;
		dfs(2 * i - 1);
//		printf("%lld %lld\n", i, ans);
	}
	printf("%lld", ans);
}