[剑指offer]14-1.剪绳子

14-1.剪绳子

方法一 动态规划

思路：递归式为f(n)=max(f(i), f(n-i))，i=1,2,...,n-1

虽然我现在也没有彻底明白这个递归式是怎么来的，但用的时候还是要注意一下。f(i)是指长度为i时的最大乘积。

但是，上面关于f(i)的定义，当i=1,2,3时是不成立的。

因为，长度为1时，只能返回0；长度为2时，只能返回1,；长度为3时，只能返回2。但是为了方便以后的计算，强行规定f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3.

代码

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return 0
        if n == 2:
            return 1
        if n == 3:
            return 2
        dp = [0 for _ in range(n+1)]
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1
        dp[2] = 2
        dp[3] = 3
        for i in range(4, n+1):
            max = 0
            for j in range(1, i//2+1):
                dP = dp[j]*dp[i-j]
                if max < dP:
                    max = dP
            dp[i] = max
        return dp[n]

结果

执行用时 :44 ms, 在所有 Python3 提交中击败了54.30%的用户

内存消耗 :13.5 MB, 在所有 Python3 提交中击败了100.00%的用户

方法二 贪心算法

思路：尽量取3，然后取2.

具体操作如下：对于长度=n的绳子，先取n//3(向下取整)段长度=3m的绳子。如果此时绳子长度仅剩1m，则只取(n//3-1)段3m的绳子(保证剩下的绳长为偶数)。

对于剩下的偶数绳长，将它切成2m一段的绳子即可。

最后的乘积为(3^{(timesOf3))*(2}(timesOf2)).

代码

class Solution:
    def cuttingRope(self, n: int) -> int:
        if n < 2:
            return 0
        if n == 2:
            return 1
        if n == 3:
            return 2
        timesOf3 = n // 3
        if n - timesOf3*3 == 1:
            timesOf3 -= 1
        timesOf2 = (n - timesOf3*3)//2
        return pow(3, timesOf3)*pow(2, timesOf2)

结果

执行用时 :52 ms, 在所有 Python3 提交中击败了30.30%的用户

内存消耗 :13.5 MB, 在所有 Python3 提交中击败了100.00%的用户

写在最后

这道题可以用递归做。但是由于f(1),f(2),f(3)不是当绳子长度为1,2,3时的最大乘积，所以我还没有想到怎么去做。

另外，无论动态规划还是贪心算法，数学原理我仍然蒙圈。这个代码是从剑指offer的C语言翻译过来的，我好像只能做知识的搬运工...