【算法】单元最短路径之Bellman-Ford算法和SPFA算法

SPFA是经过对列优化的bellman-Ford算法，因此，在学习SPFA算法之前，先学习下bellman-Ford算法。

bellman-Ford算法是一种通过松弛操作计算最短路的算法。

适用条件

1.单源最短路径(从源点s到其它所有顶点v);

2.有向图&无向图(无向图可以看作(u,v),(v,u)同属于边集E的有向图);

3.边权可正可负(如有负权回路输出错误提示);

4.差分约束系统;

bellman-Ford的具体操作是这样的：

1. 初始化，dis数组表示从起点到达第i个点的最短距离。初始化时：dis[i]=edge[起点][i];如果没有边相接，则设为MAXN；
2. 循环n-1次，遍历每个边，将dis[边[i].目标节点]=min(dis[边[i].目标节点],dis[边[i].初始节点]+边[i].权值);
3. 【可选】检验负权回路：判断边集合中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在 dis[v]中。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
//Bellman-Ford algorithm
struct Edge
{
    int a,b,v;
}edge[];
long long dis[];
void bellman_ford(int x)
{
    dis[x]=;
    for(int i=;i<=n-;i++)
    {
        for(int j=;j<=m;j++)
        {
            dis[edge[j].b]=min(dis[edge[j].b],dis[edge[j].a]+edge[j].v);
        }
    }
    return ;
    /*
     bool flag = 1; //判断是否含有负权回路
    for(int i = 1; i <= m; ++i) if(dis[edge[i].b] > dis[edge[i].a] + edge[i].cost)
        {
            flag = 0;
            break;
        }
        return flag;
    */
}
int main()
{
    int s;
    cin>>n>>m>>s;
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&edge[i].a,&edge[i].b,&edge[i].v);
    }
    for(int i=;i<=n;i++)dis[i]=;
    bellman_ford(s);
    for(int i=;i<=n;i++)
        cout<<dis[i]<<" ";
    return ;
}

这个算法在luogu上70分，TLE了两个测试点，因此需要学习一个更牛逼的算法，SPFA，听说这是一个交大的教授发明的。附上原论文连接：https://wenku.baidu.com/view/df249954d4d8d15abe234eff.html

SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm，是西南交通大学段凡丁于 1994 年发表的论文中的名字。不过，段凡丁的证明是错误的，且在 Bellman-Ford 算法提出后不久（1957 年 ）已有队列优化内容，所以国际上不承认 SPFA 算法是段凡丁提出的。

为了避免最坏情况的出现，在正权图上应使用效率更高的Dijkstra算法。若给定的图存在负权边，类似Dijkstra算法等算法便没有了用武之地，SPFA算法便派上用场了。

简洁起见，我们约定加权有向图G不存在负权回路，即最短路径一定存在。用数组d记录每个结点的最短路径估计值，而且用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法：设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点，优化时每次取出队首结点u，并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作，如果v点的最短路径估计值有所调整，且v点不在当前的队列中，就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作，直至队列空为止。

 

定理：只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,start;
long long dis[],used[],head[];
int num_edge=;
struct Graph
{
    int to,w,next;
}graph[];
bool spfa(int x)
{
    queue <int> q;
    dis[x]=;
    used[x]=;
    q.push(x);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        used[u]=;
        for(int i=head[u];i;i=graph[i].next)
        {
            int v=graph[i].to;
            long long Songchi=dis[u]+graph[i].w;
            if(dis[v]>Songchi)
            {
                dis[v]=Songchi;
                if(used[v]==)
                {
                    used[v]=;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
    }
    return ;
}
void addedge(int from,int to,int dis)//邻接表存边
{
    graph[++num_edge].next=head[from];
    graph[num_edge].to=to;
    graph[num_edge].w=dis;
    head[from]=num_edge;
 }
int main()
{
    memset(head,,sizeof(head));
    memset(used,,sizeof(used));
    cin>>n>>m>>start;
    for(int i=;i<=n;i++)dis[i]=;
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        int a,b,w;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&w);
        addedge(a,b,w);
    }
    if(spfa(start))
    {
        for(int i=;i<=n;i++)
        cout<<dis[i]<<" ";
    }
}