noi 7219:复杂的整数划分问题

7219:复杂的整数划分问题

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描述

将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。

输入

标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一行输入数据,包括两个整数N 和 K。 
(0 < N <= 50, 0 < K <= N)

输出

对于每组测试数据，输出以下三行数据:
第一行: N划分成K个正整数之和的划分数目
第二行: N划分成若干个不同正整数之和的划分数目
第三行: N划分成若干个奇正整数之和的划分数目

样例输入

5 2

样例输出

2
3
3

提示

第一行: 4+1, 3+2,
第二行: 5，4+1，3+2
第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1

题解

1.

f（i,j）表示数字i划分成j部分有几种方案数

f（i,j）=f（i-1,j-1） 这是划分出来的j部分中一定包含1

if （i-j>=j） f(i,j)+=f(i-j,j)  划分出来的j部分中都大于1

初始值 f（i,1）=f（i,i）=1

2.

初始值 f（i,1）=1;

考虑f(i,j),i需满足i>=j*(j+1)/2 (i最小等于1+2+3+......+j)

设划分的j个整数中最小的正整数是k，则从每一部分整数中抽掉1个k，k需满足k*j+j*（j-1)/2<=i

对应的方案数 f（i-j*k,j-1）  j-1是因为最小数是x，减去x后值为0，因此剩余的数划分成j-1份

f（i，j）Σf（i-j*k,j-1）

3.

f(i,j)表示数i划分成j个正奇数的方案数

初始值

对于奇数  f（i，1）=1，f（i,2）=0;

对于偶数  f（i,1）=0,f(i,2)=(i/2+1)/2;  

考虑f（i，j），需满足i>=j

j>2时

若最小的正奇数是1，对应的方案数是 f（i-1，j-1）

若最小的正奇数>1,从每个正整数中抽调2，对应的方案数是f（i-2*j,j)

f(i,j)=f(i-1,j-1)+f(i-2*j,）

 

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,k,ans;
int f[55][55];
void xx()
{
	ans=0;
	memset(f,0,sizeof(f));
}
int main()
{
	while (scanf("%d%d",&n,&k)==2)//读入几个数，就等于几
	   {
	   	  //第一问
	   	  xx();
          for (int i=0;i<=n;i++)
	        {
	  	      f[i][1]=1;
	  	      f[i][i]=1;
	        }
	      for (int i=2;i<=n;i++)
	        for (int j=2;j<=k;j++)
	          {
	            f[i][j]=f[i-1][j-1];
	            if (i-j>=j)
	              f[i][j]+=f[i-j][j];
	          }
	     cout<<f[n][k]<<endl;
	     //第二问
	     xx();
         for (int i=1;i<=n;i++)
           f[i][1]=1;
         for (int j=2;j*(j+1)/2<=n;j++)
           for (int i=j*(j+1)/2;i<=n;i++)
             for (int k=1;k*j+j*(j-1)/2<=i;k++)
               f[i][j]+=f[i-j*k][j-1];
        for (int j=1;j*(j+1)/2<=n;j++)
          ans+=f[n][j];
        cout<<ans<<endl;
        //第三问
        xx();
        for (int i=1;i<=n;i++)
          if (i%2)
	        {
	  	      f[i][1]=1;
	  	      f[i][2]=0;
	        }
	    else
	      {
	   	    f[i][1]=0;
	   	    f[i][2]=(i/2+1)/2;
	      }
	    for (int i=3;i<=n;i++)
	      for (int j=1;j<=i;j++)
	        {
	          f[i][j]=f[i-1][j-1];
	          if (i-2*j>=j)
	            f[i][j]+=f[i-2*j][j];
	        }
	    for (int i=1;i<=n;i++)
	      ans+=f[n][i];
	    cout<<ans<<endl;
       }
}