[SDOI2008]沙拉公主的困惑 线性筛 素数+欧拉

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[SDOI2008]沙拉公主的困惑 线性筛 素数+欧拉

题目大意

给定n,m,求在1到n!内与m!互质的个数，答案要对r取模。

输入格式：

第一行为两个整数T，R。R<=10^9+~~10，T<=10000，表示该组中测试数据数目，R为模 后面T行，每行一对整数n，m，见题目描述 m<=n

输出格式：

共T行，对于每一对N，M，输出1至N！中与M！素质的数的数量对R取模后的值

输入输出样例

input

1 11

4 2

output

1

解题分析

首先，我们来引出一个定理

如果a与b互质，那么\(b*k+a\)也与b互质。证明和证明gcd的证明类似。

反过来，我们也可以用\(gcd\)证明，

因为\(gcd(a,b)=1\)，所以\(gcd(a\%b,b)=1\)

因为\(a\%b=a-k*b\)，故\(gcd(a-k*b,b)=1\),及\(a-k*b\)与\(b\)互质。

根据这个特性，并且\(n>=m\),所以可以将n！分成若干段，每段为m!，每一段中与m!互质的个数都是相等的且等于1到m！中与m！互质的个数

我们可以得到式子

\(ans={\frac{n!}{m!}*\phi(m!)}\)

进一步拆开，我们可以得到 （假设p为m!的质因数，很容易可以知道，p就是所有小于m的素数，r为质因数个数）

\(ans={\frac{n!}{m!}*m!*\frac{\prod \limits_{i=1}^{r}(p_i-1)}{\prod\limits_{i=1}^{r}p_i } \to ans=n!*\frac{\prod \limits_{i=1}^{r}(p_i-1)}{\prod\limits_{i=1}^{r}p_i } }\)

因为\(ans\) 要\(\mod R\),所以我们也要算1到m的逆元，在累乘$\prod\limits_{i=1}^{r}p_i \(，乘的是\)p_i \(的逆元。
有多组询问,我们得先预处理一些数据,累乘的时候要%R
我们令\)k[i] = i! ,inv[i]为i的逆元，\(f1[i]= {\prod\limits_{a=1}^{i}(p_a-1)}\)

$ ,f2[i]={\prod\limits_{a=1}^{i}p_a} \(
\)ans=f1[m]f2[m]k[n]$

先预处理O()答案，对于询问O(1)出解

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
const int MAXN=10000000+10;
bool su[MAXN];
int q[MAXN][2],maxm,maxn,t,inv[MAXN],p,n,m;
int k[MAXN],f1[MAXN],f2[MAXN],ans=0;
void work()
{

  inv[1]=1;k[1]=1;f1[1]=1;f2[1]=1;
  for(int i=2;i<=sqrt(maxm);i++) if(!su[i])
    for(int j=2;j<=maxm/i;j++) su[i*j]=1;

	for(int i=2;i<=maxn;i++)
  {
  	if(i<=maxm)
    {
  	  inv[i]=(1LL*-(p/i)*inv[p%i])%p;
      inv[i]=(inv[i]%p+p)%p;
    }
      if(i<=maxm)
  	  {
    	  if(!su[i])
        {
	        f1[i]=(1LL*f1[i-1]*((i-1)%p))%p;
          f2[i]=(1LL*f2[i-1]*(inv[i]%p))%p;
        }else
        {
          f1[i]=f1[i-1];
          f2[i]=f2[i-1];
        }
    	}
    k[i]=(1LL*k[i-1]*(i%p))%p;
  }
}
int main()
{
  scanf("%d%d",&t,&p);

  for(int i=1;i<=t;i++)
  {
	  scanf("%d%d",&q[i][0],&q[i][1]);
    maxn=max(maxn,q[i][0]);
    maxm=max(maxm,q[i][1]);
  }
  work();
  for(int i=1;i<=t;i++)
	{
	  ans=((1LL*k[q[i][0]]%p)*1LL*(f1[q[i][1]]%p))%p;
    ans=(ans*1LL*(f2[q[i][1]]%p))%p;
    printf("%d\n",ans);
  }

  return 0;
}
/*
2 11
6 3
10 5

*/