ZROI 19.08.01 生成函数方法

写在前面：由于我数学基础不好，加上缺乏生成函数知识，所以这一下午我都处在掉线和非掉线的叠加态。而且我写\(\LaTeX\)很慢，所以笔记相当混乱而且不全面。说白了就是我太菜了听不懂。

1.一般生成函数

直接把序列写成多项式的形式。可以做个背包。

形式幂级数：只关心系数，不关心\(x\)的具体取值。只要运算方便，就可以把\(x\)取任意值来计算。

\[1+x+x^2+…=\frac{1}{1-x}\]

显然这个东西是不对的，比如\(x=2\)就gg了。

但是我们硬点\(0<x<1\)，它就是对的。

例题：求序列\(\{0,1,4,…,n^2,…\}\)的生成函数。

错位相减法去考虑就好。

\[f(x)=\sum_{i=0}i^2x^i\]

\[x\cdot f(x)=\sum_{i=1}(i-1)^2x^i=\sum_{i=1}i^2x^i+\sum_{i=1}-2i\cdot x^i+\sum_{i=1}x^i\]

\[(1-x)f(x)=2\sum_{i=1} i\cdot x^i-\sum_{x=1}x^i=\frac{2x}{(1-x)^2}-\frac{x}{1-x}\]

\[f(x)=\frac{x^2+x}{(1-x)^3}=\frac{x(x+1)}{(1-x)^3}\]

2.指数生成函数

形如\(f(x)=\sum \frac{a_ix^i}{i!}\)的东西，卷积的时候会自动生成一个组合数，适合解决排列组合型问题。

\[f(x)=\sum_{i=0} \frac{x^i}{i!}=e^x\]

\(e^x\)在零点处的展开就是上述式子，虽然我不知道怎么展开。

\[f(x)=\sum_{i=0} \frac{x^{2i}}{(2i)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\]

把\(x=-x\)代入第一个式子，然后两项相加。

\[f(x)=\sum_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\]

同理。

循环卷积

大概就是卷积之后对下标取模的结果。

FFT的本质就是一维循环卷积，只不过保证\(n\)（循环节）比较长，所以不会溢出（即，此处不需要取模）。

也可以扩展到二维，需要对两维都DFT一遍，下标取模。~~甚至可以扩展到\(k\)维，对每一维都单独做就好了。~~

为了循环卷积，我们需要对长度为循环节的数组做DFT，所以接下来老师讲了一个任意长度DFT的\(O(k\log k)\)神仙做法，而且我（几乎）听懂了，但是因为公式太长，我记不下来。出处是myy的paper。

\(n\)个点\(m\)条边的有向图，边权是一个二元组\((a_i,b_i)\)，初始有一个二元组\((0,0)\)，每经过一条边，权值会变为\(((x+a_i)\mod n, (y+b_i)\mod(n-1))\)。对每个三元组\((i,x,y)\)，求出从点\(i\)出发，经过恰好\(k\)条边回到\(i\)点，最终权值为\((x,y)\)的方案数。\(n\leq 22, k \leq 10^9\)。

显然这是一个二维循环卷积。矩阵快速幂的每个元素看作一个矩阵，乘法定义为二维循环卷积。对每个转移矩阵里的循环卷积矩阵预处理DFT，就能把单次循环卷积的复杂度降为\(O(n^2)\)，再进行矩阵快速幂，总复杂度\(O(n^5\log k)\)。

（顺便一提，上面的东西我只能勉强理解，写是不可能写出来的）

接下来是一个神题，好像是循环卷积开根，我掉线了。

\(m\)个点的图，任意一条长度为\(k\)的倍数的路径会对答案产生\(C(n,len)\)的贡献，答案对\(p\)取模。\(m \leq 10,k\leq 1000,p \equiv1(\mod k),n\leq 10^{18}\)。

每个点加一个自环，这样\(C(n,len)\)就转化成了长度恰好为\(n\)的路径，且贡献都是\(1\)。

考虑矩阵快速幂，但是每个点需要维护一个长度为\(k\)的数组，\(f_i\)表示长度\(\equiv i (\mod k)\)，这个数组的乘法定义为循环卷积。

暴力做是\(O(m^3k^2\log n)\)，但是可以用~~我也不会的~~某种玄妙的插值做出DFT，做到\(O(m^3k\log n+k^2)\)。

与Polya定理结合：一个\(n\)个点的环，染成\(m\)种颜色，要求每种颜色恰好\(c_i\)个。

发现可以把Polya定理套进去，直接生成函数做就好。

牛顿迭代

不会导数，不会Taylor展开，掉线了。

多项式求逆/除法/\(\ln\)/\(\exp\)/多点求值/多点插值

左转你谷模板区，请。不过NOI到19年也没有考过FFT，估计这东西学了也没啥用。

求\(n\)的分拆数（不降整数序列之和）。

\(O(\sqrt n)\)做法：

对于\(a_i\leq \sqrt n\)的情况，可以背包做。

否则，这样的\(a_i\)最多\(\sqrt n\)个，可以暴力。

\(O(n \log n)\)做法：

多项式\(\ln\)，多项式积分，多项式\(\exp\)。

这是什么？不知道。

然后又是一道神题，显然我又掉线了。

然后又是一道神题，显然我又掉线了。

然后又是一道神题，显然我又掉线了。

然后又是一道神题，显然我又掉线了。

嗯，不是你的网卡了。