传送门

首先考虑两个圆覆盖的情况,我们可以求出圆心与交点连线 $A$ 的极角

具体就是求出两圆心连线 $B$ 极角加上余弦定理加反余弦求出 $A,B$ 之间夹角 ,然后覆盖了多少就可以得出

但是多个圆覆盖会重复算,所以离线枚举后面的圆,然后把覆盖的区间按极角排序做一遍类似线段覆盖的操作就行了

区间覆盖的时候注意极角可以会算出负数和大于 $2\pi$ 的情况

思路倒挺简单,计算几何实现起来反正就是一堆细节

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
inline int read()
{
int x=,f=; char ch=getchar();
while(ch<''||ch>'') { if(ch=='-') f=-; ch=getchar(); }
while(ch>=''&&ch<='') { x=(x<<)+(x<<)+(ch^); ch=getchar(); }
return x*f;
}
const db pi=acos(-1.0),pi2=pi*,eps=1e-;
const int N=;
int n;
inline int dcmp(db x) { if(fabs(x)<eps) return ; return x< ? - : ; }
struct Poi {
db x,y;
Poi (db a=,db b=) { x=a,y=b; }
inline Poi operator - (const Poi &tmp) const {
return Poi(x-tmp.x,y-tmp.y);
}
};
inline db Len(Poi A) { return sqrt(A.x*A.x+A.y*A.y); }
inline db angle(Poi A) { return atan2(A.y,A.x); }
struct Circ {
Poi O; db r;
Circ (Poi a=Poi(,),db b=) { O=a,r=b; }
}C[N];
struct dat {
db ang; int type;
dat (db a=,int b=) { ang=a,type=b; }
inline bool operator < (const dat &tmp) const {
return ang<tmp.ang;
}
}D[N];
db work(int p)
{
db res=; int tot=,cnt=;
for(int i=p+;i<=n;i++)
{
db dis=Len(C[i].O-C[p].O);
if( C[p].r+dis<=C[i].r ) return ;//p被完全覆盖
if( dis>=C[p].r+C[i].r || C[i].r+dis<=C[p].r ) continue;//p没被覆盖,记得可能 i 在 p 里面
db alp=acos( (dis*dis+C[p].r*C[p].r-C[i].r*C[i].r)/(*dis*C[p].r) ),k=angle(C[i].O-C[p].O);
db l=k-alp,r=k+alp;//两个交点的极角
if(dcmp(l)<&&dcmp(r)<) { D[++tot]=dat(l+pi2,); D[++tot]=dat(r+pi2,-); continue; }
if(dcmp(l)>=&&r<=pi2) { D[++tot]=dat(l,); D[++tot]=dat(r,-); continue; }
if(dcmp(l)<&&dcmp(r)>=)
{
D[++tot]=dat(l+pi2,); D[++tot]=dat(pi2,-);
D[++tot]=dat(,); D[++tot]=dat(r,-);
}
if(dcmp(l)>=&&r>pi2)
{
D[++tot]=dat(,); D[++tot]=dat(r-pi2,-);
D[++tot]=dat(l,); D[++tot]=dat(pi2,-);
}
}
sort(D+,D+tot+);
for(int i=;i<=tot;i++)
{
if(D[i].type==&&!cnt) res+=D[i].ang-D[i-].ang;//线段覆盖
cnt+=D[i].type;
}
res+=pi2-D[tot].ang;
return C[p].r*res;
}
int main()
{
n=read(); db a,b,c,ans=;
for(int i=;i<=n;i++)
{
scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&c);
C[i]=Circ( Poi(b,c) , a );
}
for(int i=;i<=n;i++) ans+=work(i);
printf("%.3f\n",ans);
return ;
}

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