[BZOJ 1566] 管道取珠

Link：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1566

Solution：

思路十分精奇的一道题目

题目要求的是$\sum_{i=1}^k a_i^2$

明显发现$a_i$是难以求解的，于是考虑如何整体处理$a_i^2$

由于$a_i^2=a_i*a_i$，

因此$a_i^2$可以认为是第一人选出的方案数$a_i$乘上第二人选出的方案数$a_i$

那么只要统计两人选择相同序列的情况数即可

设dp[i][j][k]为取i个字符，两人在上方取到j，k个字符时相同的方案数

接下来再用滚动数组优化下转移就好了

Code：

//by NewErA
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MOD=;

const int MAXN=;

int n,m,dp[][MAXN][MAXN],up[MAXN],down[MAXN],t=;
char s1[MAXN],s2[MAXN];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%s",s1);scanf("%s",s2);
    for (int i=;i<n;i++)
        up[n-i]=s1[i]-'A';
    for (int i=;i<m;i++)
        down[m-i]=s2[i]-'A';
    dp[][][]=;
    for(int i=;i<n+m;i++,t^=)
        for(int j=;j<=min(n,i);j++)
            for(int k=;k<=min(n,i);k++)
                if(dp[t][j][k])
                {
                    int temp=dp[t][j][k];
                    if(j<n && k<n && up[j+]==up[k+]) (dp[t^][j+][k+]+=temp)%=MOD;
                    if(j<n && i-k<m && up[j+]==down[i-k+]) (dp[t^][j+][k]+=temp)%=MOD;
                    if(i-j<m && k<n && down[i-j+]==up[k+]) (dp[t^][j][k+]+=temp)%=MOD;
                    if(i-j<m && i-k<m && down[i-j+]==down[i-k+]) (dp[t^][j][k]+=temp)%=MOD;
                    dp[t][j][k]=;
                }
    cout << dp[t][n][n];
    return ;
}

Review：

1、如果要求解某难以求解之数的多次幂时，

考虑将多次幂转化为降次的其它问题求解

（二次幂转化为两个一次问题的结果相乘）

2、对DP的优化：

如果为同时求解两个同样问题的DP，维护步数和即可，由$O(n^4)$降到$O(n^3)$

如果每次只用到上一层结果，使用滚动数组优化空间