BZOJ1566 【NOI2009】管道取珠

题面

这是一道DP神题,直到我写下这句题解时也没有想明白……

首先，这道题要我们求所有（不同输出序列的方案数）的平方和，于是我们当然就想到求所有不同输出序列的方案数……（大雾） 。这道题一个巧妙的地方就在于对问题的转化。（以下摘自BYVoid大神的题解）

假设同时有两个人X & Y在玩这个游戏，设X从up取了i个珠子（不一定连续），从down取了j个珠子，取出来的珠子组成的序列为Q，操作序列为x，Y从up取了k个珠子，从down取了l个珠子，取出来的珠子组成的序列也为Q，操作序列为y，那么我们就得到了一个有序对（x，y），f[i][j][k][l]即表示有序对（x，y）的数量。两个有序对不相同当且仅当x和y不同时相同。

下面证明f[i][j][k][l]即为所求。

已知：取出珠子的序列为Q，x和y分别为一种取珠方法（可相同）， 取出Q的方案数为a；

求证：有序对（x，y）的数量等于a²。

因为取出Q的方案数为a，所以x & y都有a种取值，且x & y彼此独立，故对于x的每一个取值，y都有a种取值，故有序对（x，y）的数量为a²，命题得证。

博主是个超级大傻*，连空间优化到n²都不会，请各路大神指教。

 #include <map>
 #include <set>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <cstdio>
 #include <string>
 #include <vector>
 #include <cstring>
 #include <complex>
 #include <cstdlib>
 #include <iostream>
 #include <algorithm>
 #define rg register
 #define ll long long
 using namespace std;

 inline int gi()
 {
     rg int r = ; rg bool b = ; rg char c = getchar();
     while (c < '' || c > '') { if (c == '-') b = ; c = getchar(); }
     while (c >= '' && c <= '') { r = r *  + c - '', c = getchar(); }
     if (b) return r; return -r;
 }

 const int inf = , N = , MOD = ;
 int n,m,f[N][N][N];
 char S[N],X[N];

 inline void input()
 {
     freopen ("!.in", "r", stdin);
     n=gi(), m=gi();
     scanf("%s%s",S+,X+);
 }

 inline void output()
 {
     freopen ("!.out", "w", stdout);
     printf("%d\n",f[n][m][n]);
 }

 inline void cal(int &t,int d) { t+=d; if (t >= MOD) t-=MOD; }

 inline void solve()
 {
     int i,j,k,l,tmp;
     f[][][]=;
     for (i=; i<=n; i++)
         for (j=; j<=m; j++)
             for (k=; k<=n; k++)
                 {
                     tmp=f[i][j][k], l=i+j-k;
                     if (!tmp || !l || l > m) continue;
                     if (S[i+] == S[k+])
                         cal(f[i+][j][k+],tmp);
                     if (X[j+] == S[k+])
                         cal(f[i][j+][k+],tmp);
                     if (S[i+] == X[l+])
                         cal(f[i+][j][k],tmp);
                     if (X[j+] == X[l+])
                         cal(f[i][j+][k],tmp);
                 }
 }

 int main()
 {
     input();
     solve();
     output();
     return ;
 }

Update

博主终于会把空间优化到n^2辣！！！

PS：记得要清零！！！

 #include <bits/stdc++.h>
 #define rg register
 #define ll long long
 using namespace std;

 inline int gi()
 {
     rg int r = ; rg bool b = ; rg char c = getchar();
     while (c < '' || c > '') { if (c == '-') b = ; c = getchar(); }
     while (c >= '' && c <= '') { r = r *  + c - '', c = getchar(); }
     if (b) return r; return -r;
 }

 const int inf = , N = , MOD = ;
 int n,m,f[][N][N];
 char S[N],X[N];

 inline void input()
 {
     n=gi(), m=gi();
     scanf("%s%s",S,X);
 }

 inline void cal(rg int &t,rg int d)
 {
     t+=d;
     if (t >= MOD)
         t-=MOD;
 }

 inline void solve()
 {
     rg int i,j,k,p,q,l,r,now,lst;
     f[][][]=, now=;
     for (k=; k<n+m; ++k)   //枚举一共选了多少个，因为每次更新都会多选一个，所以只需枚举到 n+m-1
         {
             l=max(k-m,), r=min(k,n);   //计算 S 管道取珠的数量范围
             lst=now, now^=;
             for (i=l; i<=r; ++i)   //分别枚举序列 x，y
                 for (j=l; j<=r; ++j)
                     {
                         p=k-i, q=k-j;   //i，j 表示 S 管道取的数量，p，q表示 X 管道的数量
                         if (!f[lst][i][j])
                             continue;
                         if (S[i] == S[j])
                             cal(f[now][i+][j+],f[lst][i][j]);
                         if (S[i] == X[q])
                             cal(f[now][i+][j],f[lst][i][j]);
                         if (X[p] == S[j])
                             cal(f[now][i][j+],f[lst][i][j]);
                         if (X[p] == X[q])
                             cal(f[now][i][j],f[lst][i][j]);
                         f[lst][i][j]=;   //每次更新后要记得清零
                     }
         }
     printf("%d\n",f[now][n][n]);
 }

 int main()
 {
     input();
     solve();
     return ;
 }