[CTSC2017]游戏(Bayes定理,线段树)

传送门：http://uoj.ac/problem/299

题目良心给了Bayes定理，但对于我这种数学渣来说并没有什么用。

先大概讲下相关数学内容：

1.定义：$P(X)$ 表示事件$X$发生的概率，$E(X)$表示随机变量$X$的期望值，$P(A|B)$表示已知$B$发生，$A$发生的概率，$P(AB)$表示$A$和$B$同时发生的概率。

2.条件概率公式：

$\begin{aligned}P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}\end{aligned}$。

由$P(B)P(A|B)=P(AB)$移项可得。

3.全概率公式：

当存在$k$个互斥事件且事件并集为全集时：

$P(A)=\sum\limits_{i=1}^{k}P(A|X=X_i)P(X=Xi)$

由条件概率公式可得。

4.Bayes定理：

$\begin{aligned}P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\end{aligned}$

由条件概率公式可得。

接下来是OI部分。

对于每个位置，找到夹着它的两个已知胜负条件，设为A和B。

将A作为必要条件（题设），可知$E(C)=\sum_{i=1}^{k}P(c_i=1)$。根据Bayes公式可得$\begin{aligned}P(c_i=1|B)=\frac{P(c_i=1)P(B|c_i=1)}{P(B)}=\frac{P(c_i=1,B)}{P(B)}\end{aligned}$

修改的时候使用线段树进行区间合并，用矩阵加速合并。

设节点$x$代表的区间是$[L,R]$，则val[x][0/1][0/1]表示$L-1$为胜/负时，R为胜/负的$P(c_L=1)*P(B|c_L=1)$和$P(B)$。

接下来是暴力部分(10分)。

指数级枚举所有状态，计算这个状态出现的概率以及是否合法，累加即可。

方法一：暴力

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 using namespace std;

 const int N=;
 char S[];
 int n,m;
 double p[N],q[N],w[];

 void calc(){
     double ans=,tp=;
     int up=(<<n);
     for(int i=;i<up;i++){
         bool f=; int c=,las=; double pc=;
         for(int j=,k=;j<n;j++,k++)
             if(i&(<<j)){
                 if(w[k]==){ f=false; break; }
                 c++;
                 if (las) pc*=p[k]; else pc*=q[k];
                 las=;
             }else{
                 if(w[k]==){ f=false; break; }
                 if(las)pc*=(-p[k]); else pc*=(-q[k]);
                 las=;
             }
         if(f)ans+=pc*c,tp+=pc;
     }
     ans/=tp; printf("%.6f\n",ans);
 }

 void solve(){
     for(int i=;i<=n;i++)w[i]=-;
     for(int i=,x,y;i<=m;i++){
         scanf("%s",S);
         if(S[]=='a') scanf("%d%d",&x,&y),w[x]=y; else scanf("%d",&x),w[x]=-;
         calc();
     }
 }

 int main(){
     freopen("game.in","r",stdin);
     freopen("game.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&n,&m); scanf("%s",S);
     scanf("%lf",&p[]);
     for(int i=;i<=n;i++)scanf("%lf %lf",&p[i],&q[i]);
     solve();
     return ;
 }

方法二：正解

 #include<set>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #define ls (x<<1)
 #define rs (ls|1)
 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 using namespace std;

 const int N=;
 int n,m,p,c,type,S2[N];
 double ans,P[N],Q[N];
 set<int>S1;
 char op[];

 struct M{ double v[][]; M(){ memset(v,,sizeof(v)); }; };
 M operator +(M a,const M &b){ rep(i,,) rep(j,,) a.v[i][j]+=b.v[i][j]; return a; }
 M operator *(const M &a,const M &b){ M c; rep(i,,) rep(j,,) rep(k,,) c.v[i][j]+=a.v[i][k]*b.v[k][j]; return c; }

 struct inf{ M f,g; inf(const M &_f=M(),const M &_g=M()):f(_f),g(_g){}; };
 inf operator +(const inf &a,const inf &b){ return inf(a.f*b.f,a.g*b.f+a.f*b.g); }
 struct node{ int l,r,mid; inf val; }seg[N<<];

 void build(int x,int l,int r){
     if (l==r){
         seg[x].val.f.v[][]=P[l]; seg[x].val.f.v[][]=.-P[l];
         seg[x].val.f.v[][]=Q[l]; seg[x].val.f.v[][]=.-Q[l];
         seg[x].val.g.v[][]=P[l]; seg[x].val.g.v[][]=Q[l];
         return;
     }
     int mid=(l+r)>>;
     build(ls,l,mid); build(rs,mid+,r); seg[x].val=seg[ls].val+seg[rs].val;
 }

 inf que(int x,int L,int R,int l,int r){
     if (L==l && r==R) return seg[x].val;
     int mid=(L+R)>>;
     if (r<=mid) return que(ls,L,mid,l,r);
     else if (l>mid) return que(rs,mid+,R,l,r);
         else return que(ls,L,mid,l,mid)+que(rs,mid+,R,mid+,r);
 }

 double ask(int l,int r){ inf v=que(,,n+,l+,r); return v.g.v[S2[l]][S2[r]]/v.f.v[S2[l]][S2[r]]; }

 int main(){
     freopen("game.in","r",stdin);
     freopen("game.out","w",stdout);
     scanf("%d%d",&n,&m); scanf("%s",op); scanf("%lf",&P[]);
     rep(i,,n) scanf("%lf%lf",&P[i],&Q[i]);
     S1.insert(); S2[]=; S1.insert(n+); S2[n+]=; P[n+]=Q[n+]=.;
     build(,,n+); ans=ask(,n+);
     while (m--){
         scanf("%s",op);
         if (*op=='a'){
             scanf("%d%d",&p,&c); set<int>::iterator nxt=S1.lower_bound(p),lst=nxt; lst--;
             S2[p]=c; ans-=ask(*lst,*nxt); ans+=ask(*lst,p)+ask(p,*nxt); S1.insert(p);
         }else{
             scanf("%d",&p); set<int>::iterator mid=S1.find(p),lst,nxt;
             lst=nxt=mid; lst--; nxt++; ans-=ask(*lst,p)+ask(p,*nxt); ans+=ask(*lst,*nxt); S1.erase(p);
         }
         printf("%.6lf\n",ans);
     }
     return ;
 }