BZOJ 4517--[Sdoi2016]排列计数（乘法逆元）

4517: [Sdoi2016]排列计数

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Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：

1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次

若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的

满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。

接下来 T 行，每行两个整数 n、m。

T=500000，n≤1000000，m≤1000000

 

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

 

Sample Input

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

Sample Output

0
1
20
578028887
60695423

 

题目链接：

　　　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4517

Solution

　　显然对于一次询问，只要选定m个数放在原位，然后使其他数字都不放在原位即可。。

　　设f [ i ]表示长度为i的每一位a [ i ] ! = i的方案数。。

　　于是答案显然就是C(n,m) * f [ n-m ]。。。

　　组合数可以用乘法逆元解决。。

　　考虑怎么处理f [ i ]。。首先打表可知f [ i ]一定是(i-1)的倍数。。。

　　f[1]=0

　　f[2]=1　　f[2]/1=1

　　f[3]=2　　f[3]/2=1

　　f[4]=9　　f[4]/3=3

　　f[5]=44　  f[5]/4=11

　　f[6]=265    f[6]/5=53

　　显然可以发现 f [ i ] / ( i - 1 ) = f [ i - 1 ] + f [ i - 2 ]

　　于是 f [ i ] = ( f [ i - 1 ] + f [ i - 2 ] ) * ( i - 1 )

　　O(n)递推，O(1)询问。。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<map>
#define pa pair<LL,LL>
#define LL long long
using namespace std;
inline LL read(){
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline void Out(LL a){
    if(a>9) Out(a/10);
    putchar(a%10+'0');
}
const LL inf=1e9+10;
const LL mod=1e9+7;
const int N=1000050;
LL n,m;
LL f[N+50],jc[N+50],ny[N+50];
LL C(LL x,LL y){
	return jc[y]*ny[x]%mod*ny[y-x]%mod;
}
int main(){
	f[0]=1;f[1]=0;
	jc[0]=jc[1]=ny[0]=ny[1]=1;
	for(LL i=2;i<=N;++i){
		f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod*(i-1)%mod;
		ny[i]=(mod-mod/i)*ny[mod%i]%mod;
	}
	for(LL i=2;i<=N;++i){
		ny[i]=ny[i-1]*ny[i]%mod;
		jc[i]=jc[i-1]*i%mod;
	}
	int T;scanf("%d",&T);
	LL ans;
	while(T--){
		n=read();m=read();
		ans=C(m,n)*f[n-m]%mod;
		Out(ans);puts("");
	}
	return 0;
}

　　

　　

This passage is made by Iscream-2001.