opencv中的exp32f函数

exp32f

opencv的exp函数和cmath的exp函数在精度上存在一定差异，通过查找源码，发现了这么一段实现。代码如下：

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#define EXPTAB_SCALE 6
#define EXPTAB_MASK  ((1 << EXPTAB_SCALE) - 1)

#define EXPPOLY_32F_A0 .9670371139572337719125840413672004409288e-2

static const double expTab[EXPTAB_MASK + 1] = {
    1.0 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.0108892860517004600204097905619 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.0218971486541166782344801347833 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.0330248790212284225001082839705 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.0442737824274138403219664787399 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.0556451783605571588083413251529 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.0671404006768236181695211209928 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.0787607977571197937406800374385 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.0905077326652576592070106557607 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.1023825833078409435564142094256 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.1143867425958925363088129569196 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.126521618608241899794798643787 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.1387886347566916537038302838415 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.151189229952982705817759635202 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.1637248587775775138135735990922 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.1763969916502812762846457284838 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.1892071150027210667174999705605 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.2021567314527031420963969574978 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.2152473599804688781165202513388 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.2284805361068700056940089577928 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.2418578120734840485936774687266 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.2553807570246910895793906574423 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.2690509571917332225544190810323 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.2828700160787782807266697810215 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.2968395546510096659337541177925 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.3109612115247643419229917863308 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.3252366431597412946295370954987 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.3396675240533030053600306697244 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.3542555469368927282980147401407 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.3690024229745906119296011329822 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.3839098819638319548726595272652 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.3989796725383111402095281367152 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.4142135623730950488016887242097 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.4296133383919700112350657782751 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.4451808069770466200370062414717 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.4609177941806469886513028903106 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.476826145939499311386907480374 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.4929077282912648492006435314867 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.5091644275934227397660195510332 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.5255981507445383068512536895169 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.5422108254079408236122918620907 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.5590044002378369670337280894749 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.5759808451078864864552701601819 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.5931421513422668979372486431191 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.6104903319492543081795206673574 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.628027421857347766848218522014 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.6457554781539648445187567247258 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.6636765803267364350463364569764 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.6817928305074290860622509524664 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.7001063537185234695013625734975 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.7186192981224779156293443764563 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.7373338352737062489942020818722 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.7562521603732994831121606193753 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.7753764925265212525505592001993 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.7947090750031071864277032421278 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.8142521755003987562498346003623 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.8340080864093424634870831895883 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.8539791250833855683924530703377 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.8741676341102999013299989499544 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.8945759815869656413402186534269 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.9152065613971472938726112702958 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.9360617934922944505980559045667 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.9571441241754002690183222516269 * EXPPOLY_32F_A0,
    1.9784560263879509682582499181312 * EXPPOLY_32F_A0,
};

static const double exp_prescale = 1.4426950408889634073599246810019 * (1 << EXPTAB_SCALE);
static const double exp_postscale = 1./(1 << EXPTAB_SCALE);
static const double exp_max_val = 3000.*(1 << EXPTAB_SCALE); // log10(DBL_MAX) < 3000

const double* getExpTab64f()
{
    return expTab;
}

const float* getExpTab32f()
{
    static float expTab_f[EXPTAB_MASK+1];
    static std::atomic<bool> expTab_f_initialized(false);
    if (!expTab_f_initialized.load())
    {
        for( int j = 0; j <= EXPTAB_MASK; j++ )
            expTab_f[j] = (float)expTab[j];
        expTab_f_initialized = true;
    }
    return expTab_f;
}

void exp32f( const float *_x, float *y, int n )
{
    const float* const expTab_f = getExpTab32f();

    const float
    A4 = (float)(1.000000000000002438532970795181890933776 / EXPPOLY_32F_A0),
    A3 = (float)(.6931471805521448196800669615864773144641 / EXPPOLY_32F_A0),
    A2 = (float)(.2402265109513301490103372422686535526573 / EXPPOLY_32F_A0),
    A1 = (float)(.5550339366753125211915322047004666939128e-1 / EXPPOLY_32F_A0);

    int i = 0;
    const Cv32suf* x = (const Cv32suf*)_x;
    float minval = (float)(-exp_max_val/exp_prescale);
    float maxval = (float)(exp_max_val/exp_prescale);
    float postscale = (float)exp_postscale;

    for( ; i < n; i++ )
    {
        float x0 = x[i].f;
        x0 = std::min(std::max(x0, minval), maxval);
        x0 *= (float)exp_prescale;
        Cv32suf buf;

        int xi = cv::saturate_cast<int>(x0);
        x0 = (x0 - xi)*postscale;

        int t = (xi >> EXPTAB_SCALE) + 127;
        t = !(t & ~255) ? t : t < 0 ? 0 : 255;
        buf.i = t << 23;

        y[i] = buf.f * expTab_f[xi & EXPTAB_MASK] * ((((x0 + A1)*x0 + A2)*x0 + A3)*x0 + A4);
    }
}

这是从opencv4源码中摘出的一段计算\(e^x\)的函数（32位浮点）。初看起来可能有些迷糊，但仔细思考和推导之后，稍微明白了一些。想要理解这段代码，主要有三点需要清楚：第一点，从计算\(e^x\)转换到计算\(2^x\)；第二点，使用四阶泰勒展开逼近\(2^x\); 第三点，expTab_f的作用。

从\(e^x\)转到\(2^x\)。这个比较简单，对输入\(x\)预先乘以\(log_2(e)\)就可以了，exp_prescale就是起这样的作用（这里预先左移了6位，相当于乘以64，这个先不管）。转换之后对\(x\)进行了整数和小数部分的分离，整数部分为xi,小数部分为x0。对于整数部分，按照IEEE754浮点数的表示方式，可以直接移动到解码部分。

int t = (xi >> EXPTAB_SCALE) + 127;

t = !(t & ~255) ? t : t < 0 ? 0 : 255;

buf.i = t << 23;

这个时候整数部分已经计算完成（即buf.f，这里用了union的存储方式，方便机器数级别的浮点和整数的转换），剩下只要计算小数部分，即\(2^{x0}\)。

y[i] = buf.f * expTab_f[xi & EXPTAB_MASK] * ((((x0 + A1)x0 + A2)x0 + A3)*x0 + A4);

小数部分的计算不是很直接，这里用到了级数近似的方式。

\(2^x\)的多项式展开。对\(2^x\)进行泰勒展开可以得到

\(2^x = 1 + xln2 + \frac{x^2ln^{2}\ 2}{2} + \frac{x^3ln^{3}\ 2}{3!} + \frac{x^4ln^{4}\ 2}{4!} + \cdots\)

\(A1 = \frac{ln^{3}\ 2}{3!A0},\)

\(A2 = \frac{ln^{2}\ 2}{2!A0},\)

\(A3 = \frac{ln2}{A0},\)

\(A4 = \frac{1}{A0}.\)

将以上代入((((x0 + A1)*x0 + A2)*x0 + A3)*x0 + A4)可以得到\(2^x\)的四阶多项式展开，不过每项系数都多除以了一个A0。这时候就需要expTab_f了。

expTab_f。expTab_f有64项，其作用除了消去\(2^x\)多项式展开中的A0，还有就是乘上之前忽略的小数部分。一开始，输入x乘以64，相当于小数点向右移动了6位，因而有6位小数移动到了整数部分（按照二进制表示来考虑），不过在计算整数阶码时没有考虑这部分，所以之后需要把这6位小数重新乘上去，根据整数部分低6位的值计算对应的小数部分，这就是expTab_f所表示的内容。比如整数的低6位为1时，表示小数\(2^{1/64}=1.0108892860517005\)，低6位为3时，表示小数\(2^{1/32+1/64}=1.0330248790212284\)，低6位为63时（所有位为1），表示小数\(2^{1-1/64}=1.978456026387951\)。

一些疑问

至此，这段代码基本就搞清楚了。对此，还有几个问题：第一，为什么需要预先左移6位，从运算角度考虑并没有起到什么实质作用；第二，为什么\(2^x\)多项式展开的系数都要除以A0，如果不除会有什么不同。对于第一个问题，我猜可能是精度考虑，移动到整数部分之后，这几位的小数精度可以保证，而且移动的位数越多，近似的精度越高。对于第二个问题，我猜也可能跟精度有关，但并不太清楚是怎样影响的。