HDU 5322 Hope

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考虑 $ dp[n] $ 表示 长度为 $ n $ 的所有排列的答案。

首先，对于一个排列来说，如果最大值在 $ i $ 位置，那么前 $ i - 1 $ 个数必然与 $ i $ 在一个联通块，且必然不会与 $ i $ 后面的数字在一个连通块。

那么考虑一种常用的排列的处理技巧，考虑将 $ n $ 插入 $ 1 \dots n-1 $ 的一个排列，比如插入的位置是 $ i $ 那么 $ i + 1 \dots n $ 相当于又是一个排列，而 $ 1 \dots i - 1 $ 的方案数是 $ A_{n-1}^{i-1} $ 所以答案就是

$ dp[n] = \displaystyle \sum_{i=1}^n A_{n-1}^{i-1} i^2 dp[n - i] $

这个式子看起来就很分治FFT。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std;
#define P 998244353
#define MAXN (1 << 19) + 12
int n;
int a[MAXN];
int Pow(int x,int y) {
    int res=1;
    while(y) {
        if(y&1) res=res*(ll)x%P;
        x=x*(ll)x%P,y>>=1;
    }
    return res;
}
int wn[2][MAXN];
void getwn(int l) {
    for(int i=1;i<(1<<l);i<<=1) {
        int w0=Pow(3,(P-1)/(i<<1)),w1=Pow(3,P-1-(P-1)/(i<<1));
        wn[0][i]=wn[1][i]=1;
        for(int j=1;j<i;++j)
            wn[0][i+j]=wn[0][i+j-1]*(ll)w0%P,
                    wn[1][i+j]=wn[1][i+j-1]*(ll)w1%P;
    }
}
int rev[MAXN];
void getr(int l) { for(int i=1;i<(1<<l);++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<l-1); }
void NTT(int *A,int len,int f) {
    for(int i=0;i<len;++i) if(rev[i]<i) swap(A[i],A[rev[i]]);
    for(int l=1;l<len;l<<=1)
        for(int i=0;i<len;i+=(l<<1))
            for(int k=0;k<l;++k) {
                int t1=A[i+k],t2=A[i+l+k]*(ll)wn[f][l+k]%P;
                A[i+k]=(t1+t2)%P;
                A[i+l+k]=(t1-t2+P)%P;
            }
    if( f == 1 ) for(int inv=Pow(len,P-2),i=0;i<len;++i) A[i]=A[i]*(ll)inv%P;
}
int f[MAXN];
int A[MAXN] , B[MAXN];
int J[MAXN] , invJ[MAXN];
void CDQ(int *a,int *b,int l,int r){
    if( l == r ) return;
    int m = l + r >> 1;
    CDQ( a , b , l , m );
    int p = 1 , len = 0;
    while( p <= ( r - l + 1 ) * 2 ) p <<= 1 , ++ len;
    getr( len ) , getwn( len );
    for( int i = 0 ; i < p ; ++i ) A[i] = B[i] = 0;
    for( int i = l ; i <= m ; ++i ) A[i - l] = 1ll * a[i] * invJ[i] % P;
    for( int i = 0 ; i <= r - l ; ++i ) B[i] = 1ll * i * i % P;
    NTT( A , p , 0 ) , NTT( B , p , 0 );
    for( int i = 0 ; i < p ; ++i ) A[i] = 1ll * A[i] * B[i] % P;
    NTT( A , p , 1 );
    for( int i = m + 1 ; i <= r ; ++i ) a[i] = ( a[i] + 1ll * J[i - 1] * A[i-l] % P ) % P;
    CDQ( a , b , m + 1 , r );
}
int main() {
    J[0] = invJ[0] = 1;
    for( int i = 1 ; i < MAXN ; ++ i ) J[i] = 1ll * J[i - 1] * i % P , invJ[i] = Pow( J[i] , P - 2 );
    f[0] = 1;
    CDQ( f , a , 0 , 100006 );
    int x;
    while( cin >> x ) printf("%d\n",f[x]);
}