BZOJ3991 寻宝游戏 LCA 虚树 SET

5.26 T1:寻宝游戏

Description

小B最近正在玩一个寻宝游戏，这个游戏的地图中有N个村庄和N-1条道路，并且任何两个村庄之间有且仅有一条路径可达。游戏开始时，玩家可以任意选择一个村庄，瞬间转移到这个村庄，然后可以任意在地图的道路上行走，若走到某个村庄中有宝物，则视为找到该村庄内的宝物，直到找到所有宝物并返回到最初转移到的村庄为止。小B希望评测一下这个游戏的难度，因此他需要知道玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。但是这个游戏中宝物经常变化，有时某个村庄中会突然出现宝物，有时某个村庄内的宝物会突然消失，因此小B需要不断地更新数据，但是小B太懒了，不愿意自己计算，因此他向你求助。为了简化问题，我们认为最开始时所有村庄内均没有宝物

Input

第一行，两个整数N、M，其中M为宝物的变动次数。

接下来的N-1行，每行三个整数x、y、z，表示村庄x、y之间有一条长度为z的道路。

接下来的M行，每行一个整数t，表示一个宝物变动的操作。若该操作前村庄t内没有宝物，则操作后村庄内有宝物；若该操作前村庄t内有宝物，则操作后村庄内没有宝物。

Output

M行，每行一个整数，其中第i行的整数表示第i次操作之后玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。若只有一个村庄内有宝物，或者所有村庄内都没有宝物，则输出0。

Sample Input

Sample Output

HINT

1<=N<=100000

1<=M<=100000

对于全部的数据，1<=z<=10^9

solution

其实这题是一个比较坑爹的题，可以用虚树做，也可以用set+lca做

这里讲下set+lca的做法

首先我们可以将各个点的dfn值在set中删除，用dfn是因为set中的元素都是有序的，这样方便查找，当然也可以手写rank_tree（splay，treap等），这样效率或许更高。

插入操作：我们可以将一点x插入到set中，将上一次的答案加上x点到其前驱以及后继点的路径长，再减去该两点之间的路径长。

\[insert_{ans}(x)=ans_{last}-dis(before,after)+dis(x,before)+dis(x,after)
\]

删除操作：我们可以将上一次答案加上待删除的点x的前驱和后继之间的路径长，再减去分别到前驱后后继的路径。

\[erase_{ans}(x)=ans_{last}+dis(before,after)-dis(x,before)-dis(x,after)
\]

其中dis为

\[dis(x,y)=dis\bigr(LCA(x,y),x\bigl)+dis\bigr(LCA(x,y),y\bigl)
\]

期间我们可以用树剖求lca，并在树剖的第一个dfs里初始化好各个点到根的距离。

虚树做法

易知，答案就是各个关键点之间形成的树的边权和的两倍，这就是虚树！对于一颗虚树，答案就是各个的dfs序排序，相邻两点的距离和，再加上最后一个到第一个的距离,直接用set维护dfs序就好了，注意最后要减掉所有关键点的LCA的深度

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<set>

using namespace std;

const int N=1000001;

int n,q,tot,root,maxn,dftim,tim[N],fa[N],to[N<<1],nx[N<<1],head[N<<1],dep[N],siz[N],son[N],top[N],dfn[N],dfnnode[N+5];

long long cost[N<<1],ans,toroot[N];

bool flag[N];

set<int> s;

void addedge(int x,int y,long long z){

    nxt[++tot]=head[x];

    head[x]=tot;

    to[tot]=y;

    cost[tot]=z;

}

void dfs1(int u,int f) {

	dfn[u]=++dftim;

	dfnnode[dfn[u]]=u;

	dep[u]=dep[fa[u]=f]+(siz[u]=1);

	for(int i=head[u];i;i=nxt[i]) {

    	int v=to[i];

    	if(v==f)continue;

    	toroot[to[i]]=toroot[u]+cost[i];

    	dfs1(v,u);

    	siz[u]+=siz[v];

    	if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;

	}

}

void dfs2(int u,int topf){

    top[u]=topf;

    if(!son[u])return;

    dfs2(son[u],topf);

    for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){

        int v=to[i];

        if(v==fa[u] or v==son[u])continue;

        dfs2(v,v);

    }

}

int lca(int x,int y) {

    register int u=x,v=y;

    while(top[u]!=top[v]) {

        if(dep[top[u]]<dep[top[v]])swap(u,v);

        u=fa[top[u]];

    }

    return dep[u]<=dep[v]?u:v;

}

long long get(int x,int y){

    int z=lca(x,y);

    return toroot[x]+toroot[y]-2*toroot[z];

}

int main() {

    scanf("%d%d",&n,&q);

    for(int i=1; i<n; ++i) {

        int u,v;

        long long w;

        scanf("%d%d%lld",&u,&v,&w);

        addedge(u,v,w),addedge(v,u,w);

        tim[u]++,tim[v]++;

        if(tim[u]>maxn)root=u,maxn=tim[u];

        if(tim[v]>maxn)root=v,maxn=tim[v];

    }

    dfs1(root,0);

    dfs2(root,root);

	s.insert(0),s.insert(n+1);

	while(q--){

    	int x;scanf("%d",&x);

    	if(flag[x]){

    	    int las=*--s.find(dfn[x]),nxt=*++s.find(dfn[x]);

        	if(las>=1)ans-=get(dfnnode[las],x);

        	if(nxt<=n)ans-=get(dfnnode[nxt],x);

        	if(las>=1 and nxt<=n)ans+=get(dfnnode[las],dfnnode[nxt]);

        	s.erase(dfn[x]);

    	}else{

        	s.insert(dfn[x]);

        	int las=*--s.find(dfn[x]),nxt=*++s.find(dfn[x]);

        	if(las>=1)ans+=get(dfnnode[las],x);

        	if(nxt<=n)ans+=get(dfnnode[nxt],x);

        	if(las>=1 and nxt<=n)ans-=get(dfnnode[las],dfnnode[nxt]);

        }

	    int first=*++s.find(0),last=*--s.find(n+1);long long hehe=0;

    	if (first<1 or last>n) hehe=0;

    	else hehe=get(dfnnode[first],dfnnode[last]);

    	printf("%lld\n",ans+hehe);

    	flag[x]=!flag[x];

	}

	return 0;

}