【线性代数】5-2:置换和余因子(Permutations and Cofactors)

title: 【线性代数】5-2:置换和余因子(Permutations and Cofactors)

categories:

• Mathematic
• Linear Algebra
  
  keywords:
• Determinants
• ‘Pivot Formula’
• ‘Big Formula’
• ‘Cofactors Formula’
• Cofactors
• Permutations
  
  toc: true
  
  date: 2017-11-03 09:50:36

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Abstract: 行列式的几种求法，以及相关的衍生问题

Keywords: Determinants，‘Pivot Formula’，‘Big Formula’，‘Cofactors Formula’，Cofactors，Permutations

开篇废话

今天写的是行列式的三种计算方法，瞬间想到了孔乙己的茴香豆的四种写法，一个多少有点文化的人（被老师们解读为迂腐）却被一些没什么文化的人嘲笑挖苦；如果孔乙己是个那个时代的悲剧，那我们自己会不会成为这个时代的悲剧呢？读书无用论，某首富的“北大，清华大不如胆大”论，如果思维继续，结果最后肯定是喜闻乐见

The Pivot Formula

Pivot的方式求行列式的值，Pro. Stang说这是matlab的做法，也就是计算机求行列式一般通过消元后得到Pivot，然后将所有Pivots相乘，得到行列式的值，这里有个主意的地方，我们反复强调，如果不是满rank的话，Pivot必然在某些行或者列里面不存在，那么这个矩阵是奇异矩阵，行列式值为0。

能够支持Pivot的乘积等于行列式的原因是上文关于properties 中Rule5 是消元的主要过程，rule5 告诉我们消元前后行列式的值不变，但是有的时候我们不光要消元还要进行行交换，这个是随机次数的，所以行列式的值等于Pivot乘积的前面正负号不明确，故:

det(A)=±p11p22…pnn
det(A)=\pm p_{11}p_{22}\dots p_{nn}
det(A)=±p11​p22​…pnn​

从另一个角度讲，如果把消元过程用矩阵方式表达 PA=LUPA=LUPA=LU LU分解的矩阵形式，通过rule8 ，就能知道

det(P)det(A)=det(L)det(U)det(P)=±1det(L)=1det(A)=±det(U)
det(P)det(A)=det(L)det(U)\\
det(P)=\pm 1\\
det(L)=1\\
det(A)=\pm det(U)
det(P)det(A)=det(L)det(U)det(P)=±1det(L)=1det(A)=±det(U)

这样的话，U的对角线是由Pivot组成的，这个就是Pivot Formula的另一个切入点，都能证明行列式的pivot formula的正确性。

Pivot过程就是消元的过程，通过消元，得到行列式的值。

通过相乘的过程我们还能得到一个子矩阵的行列式，比如矩阵AAA的左上角的一块小的矩阵 A′A'A′ 他的行列式等于这个子矩阵覆盖的pivot的值（没有行变换）

det(A′)=p11p22…pkkif det(A′′)=p11p22…pk−1k−1pkk=det(A′)det(A′′)
det(A')=p_{11}p_{22}\dots p_{kk} \\
if \, det(A'')=p_{11}p_{22}\dots p_{k-1k-1}\\
p_{kk}=\frac{det(A')}{det(A'')}
det(A′)=p11​p22​…pkk​ifdet(A′′)=p11​p22​…pk−1k−1​pkk​=det(A′′)det(A′)​

The big Formula

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