[NOIP10.6模拟赛]2.equation题解--DFS序+线段树

题目链接:

咕

闲扯:

终于在集训中敲出正解(虽然与正解不完全相同),开心QAQ

首先比较巧,这题是\(Ebola\)出的一场模拟赛的一道题的树上强化版,当时还口胡出了那题的题解

然而考场上只得了86最后一个substask被卡了,一开始以为毒瘤出题人卡常(虽然真卡了)卡线段树,题目时限1.5s,评测机上两个点擦线1500ms左右,剩下两个点不知道。然后本地测一下都是1900+ms!机子性能已经这样了吗....结果把快读换成\(fread\),TM过了!最慢的1200+ms!!!这......无话可说,\(getchar()\)快读也卡讲究

分析:

首先最简单的处理不讲了.就是把每个点的未知数表示成\(k_i x_1 + b_i\)的形式,这DFS一遍就好了

然后观察到有一个1e3的子任务,想想暴力怎么做,我们对于操作1,相当于\((k_i+k_j)x_1+(b_i+b_j)=w\)判断一下解得情况就好了,\(O(1)\)完成;

对于操作2,我们可以发现对于\(x\)的操作,只会对\(x\)的子树中的\(k_ix_1+b_i\)形式有影响(实际上只会影响\(b_i\)),于是\(DFS\)一遍子树即可,这样总的暴力时间复杂度是\(O(nq)\)

考虑优化暴力,

我们发现瓶颈是操作2,如果将\(x\)与其父亲的边权从\(w_1\)改为\(w_2\),那么加入\(x\)本来形式是\(k_ix_1+b_i\),这时候变成了\(k_i x_1+b_i+w_2-w_1\),相当于加操作,当时在\(x\)的子树中与\(x\)的\(k_i\)(实际上显然只有-1,1两种取值)不同的点,\(b\)值却应该减去\(w_2-w_1\),所以我们将标记开成一个二元组,一个记录标记的正负,另一个记录值,重载下运算符就很方便了

struct Tag{
        int o;//标记的正负
        ll dt;
        Tag(){o=dt=0;}
        Tag(int o){o=dt=o;}
        Tag(int _o,ll _dt){o=_o,dt=_dt;}
        Tag operator +(const Tag &b)const{
            Tag tmp=*this;
            if(tmp.o==0)tmp=b;
            else if(b.o==0)return tmp;
            else {
            	if(o!=b.o){
               	 tmp.dt=dt-b.dt;
            	}
            	else tmp.dt=dt+b.dt;
            }
            return tmp;
        }
    };

这样对于操作2,只用在子树加个标记就好了,因为dfs序是一段连续区间(我比较傻考场上是用树链剖分)使用线段树就好了

对于操作1,我们两次单点查询就好了,然后按暴力那样处理.

总的时间复杂度\(O(q log N)\),常数稍大

当然标算std是将深度分奇偶考虑,然后树状数组维护差分标记,时间复杂度相同但是常数小的多

代码

这是考场代码换了快读,如果想看线段树部分直接跳到\(niconicoi\)那个\(namespace\)就好了

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <vector>
#define ll long long
#define ri register int
using std::min;
using std::abs;
using std::max;
inline char nc(){
    static char buf[100000],*p1=buf,*p2=buf;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
template <class T>inline void read(T &x){
    x=0;int ne=0;char c;
    while(!isdigit(c=nc()))ne=c=='-';
    x=c-48;
    while(isdigit(c=nc()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
    x=ne?-x:x;return ;
}
const int maxn=100005;
const int inf=0x7fffffff;
const int N=1000005;
struct Edge{
    int ne,to;
    ll dis;
}edge[N<<1];
int h[N],num_edge=1;
inline void add_edge(int f,int to,int c){
    edge[++num_edge].ne=h[f];
    edge[num_edge].to=to;
    edge[num_edge].dis=c;
    h[f]=num_edge;
}
struct Wt{
    int ki;
    ll bi;
    Wt(){ki=bi=0;}
    Wt(int _k,ll _b){ki=_k,bi=_b;}
}pt[N];
int n,q;
int fafa[N],fa_id[N];
namespace wtf{
    void main(){
        /*orz*/
        return ;
    }
}
void pre_dfs(int now,int fa){
    int v;
    int x=pt[now].ki,y=pt[now].bi;
    for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
        v=edge[i].to;
        if(v==fa)continue;
        fafa[v]=now;
        fa_id[v]=i;
        pt[v]=Wt(-x,edge[i].dis-y);
        pre_dfs(v,now);
    }
    return;
}
namespace qwq{
    void main(){
        int op,x,y;ll dd;
        ll p=edge[2].dis;
        while(q--){
            read(op),read(x),read(y);
            if(op==1){
                read(dd);
                if(x!=y){
                    if(dd==p){
                        puts("inf");
                    }
                    else{
                        puts("none");
                    }
                }
                else {
                    if(x==1){
                        if(dd%2)puts("none");
                        else printf("%lld\n",dd/2);
                    }
                    if(x==2){
                        ll tt=2*p-dd;
                        if(tt%2)puts("none");
                        else printf("%lld\n",tt/2);
                    }
                }
            }
            else{
                p=y;
            }
        }
        return ;
    }
}
namespace task_1{
    void main(){
        int op,x,y;ll dd;
        int kk,bb;
        while(q--){
            read(op),read(x),read(y);
            if(op==1){
                read(dd);
                kk=pt[x].ki+pt[y].ki;
                bb=pt[x].bi+pt[y].bi;
                dd=dd-bb;
                if(kk==0){
                    if(dd==0)puts("inf");
                    else puts("none");
                }
                else if(dd%abs(kk)!=0)puts("none");
                else printf("%lld\n",dd/kk);
            }
            else {
                edge[fa_id[x]].dis=y;
                edge[fa_id[x]^1].dis=y;
                pre_dfs(fafa[x],fafa[fafa[x]]);
            }
        }
        return ;
    }
}
namespace niconiconi{
    int dep[N],top[N],son[N],size[N],dfn[N],rnk[N],tot=0;
    void print(ll xxx){
        if(!xxx)return ;
		print(xxx/10);
        putchar(xxx%10+'0');
        return ;
    }
    void dfs_1(int now){
        int v;size[now]=1;
        for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
            v=edge[i].to;
            if(v==fafa[now])continue;
            dep[v]=dep[now]+1;
            dfs_1(v);
            size[now]+=size[v];
            if(!son[now]||size[son[now]]<size[v])son[now]=v;
        }
        return ;
    }
    void dfs_2(int now,int t){
        int v;top[now]=t;
        dfn[now]=++tot,rnk[tot]=now;
        if(!son[now])return ;
        dfs_2(son[now],t);
        for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
            v=edge[i].to;
            if(v==fafa[now]||v==son[now])continue;
            dfs_2(v,v);
        }
        return ;
    }
    struct Tag{
        int o;//标记的正负
        ll dt;
        Tag(){o=dt=0;}
        Tag(int o){o=dt=o;}
        Tag(int _o,ll _dt){o=_o,dt=_dt;}
        Tag operator +(const Tag &b)const{
            Tag tmp=*this;
            if(tmp.o==0)tmp=b;
            else if(b.o==0)return tmp;
            else {
            	if(o!=b.o){
               	 tmp.dt=dt-b.dt;
            	}
            	else tmp.dt=dt+b.dt;
            }
            return tmp;
        }
    };
	Tag tag[N<<2];
    void build(int now,int l,int r){
        tag[now]=Tag(0);
        if(l==r){
            return ;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        build(now<<1,l,mid);
        build(now<<1|1,mid+1,r);
        return ;
    }
    int L,R;
    Tag dta;
    inline void pushdown(int now){
        if(tag[now].o==0)return ;
        tag[now<<1]=tag[now<<1]+tag[now];
        tag[now<<1|1]=tag[now<<1|1]+tag[now];
        tag[now]=Tag(0);
        return ;
    }
    void update(int now,int l,int r){
        if(L<=l&&r<=R){
            tag[now]=tag[now]+dta;
            return ;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        pushdown(now);
        if(L<=mid)update(now<<1,l,mid);
        if(mid<R)update(now<<1|1,mid+1,r);
        return ;
    }
    Wt pa,pb;
	int t;
    void query(int now,int l,int r){
        if(l==r){
            //int kkk=pt[rnk[l]].ki,bbb=pt[rnk[l]].bi;
            if(tag[now].o!=0){
                if(tag[now].o!=pt[rnk[l]].ki){
                    pt[rnk[l]].bi-=tag[now].dt;
                }
                else{
                    pt[rnk[l]].bi+=tag[now].dt;
                }
                tag[now]=Tag(0);
            }
            //pa.ki=pt[rnk[l]].ki;
            //pa.bi=pt[rnk[l]].bi;
            return;
        }
        int mid=(l+r)>>1;
        pushdown(now);
        if(t<=mid)query(now<<1,l,mid);
        else query(now<<1|1,mid+1,r);
        return ;
    }
    void main(){
        int op,x,y;
        ll kk,bb,dd;
        dep[1]=0;
        dfs_1(1);
        dfs_2(1,1);
        build(1,1,n);
        while(q--){
            read(op),read(x),read(y);
            if(op==1){
                read(dd);
                t=dfn[x];//pa=Wt(0,0);
                query(1,1,n);
                t=dfn[y];//pb=Wt(pa.ki,pa.bi),pa=Wt(0,0);
                query(1,1,n);
                //printf("%d %d %d %d\n",pa.ki,pb.ki,pa.bi,pb.bi);
                kk=pt[x].ki+pt[y].ki;
                bb=pt[x].bi+pt[y].bi;
                dd=dd-bb;
                if(kk==0){
                    if(dd==0)puts("inf");
                    else puts("none");
                }
                else if(dd%abs(kk)!=0)puts("none");
                else {
                    if(dd==0)puts("0");
                    else {
                    	dd=dd/kk;
                    	if(dd<0)dd=-dd,putchar('-');
						print(dd);
						puts("");
					}
                    //printf("%lld\n",dd/kk);
                }
            }
            else {
                dd=edge[fa_id[x]].dis;
                edge[fa_id[x]].dis=edge[fa_id[x]^1].dis=y;
                dd=1ll*y-dd;
                //printf("%lld\n",dd);
                L=dfn[x],R=dfn[x]+size[x]-1;
                //t=dfn[x];pa=Wt(0,0);
                //query(1,1,n);
                pa=pt[x];
                //printf("%d\n",pa.ki);
                dta=Tag(pa.ki,dd);
                update(1,1,n);
                //update_subtree()
            }
        }
        return ;
    }
}
int main(){
    int x,y;
    freopen("equation.in","r",stdin);
    freopen("equation.out","w",stdout);
    read(n),read(q);
    for(ri i=2;i<=n;i++){
        read(x),read(y);
        add_edge(i,x,y);
        add_edge(x,i,y);
    }
    pt[1].ki=1,pt[1].bi=0;
    fafa[1]=0;
    pre_dfs(1,0);
    if(q==0)wtf::main();
    else if(n==2)qwq::main();
    else if(n<=2000)task_1::main();
    else niconiconi::main();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}