2025 gdsy 春季训练 5 - 数论

前言

因为我数论太烂了，所以写一篇随笔总结一下。

A - Eri and Expanded Sets

计数题。刻画合法条件。

观察到对一个集合进行操作，最后的结果一定是一个等差数列。

如果不是等差数列，则集合一定可以继续进行操作。

方差为 \(1\) 或集合只有 \(1\) 个数字，就是优秀的集合。

如何求最后结果的公差？首先如果相邻 \(2\) 个数字的差为偶数，则可以除以 \(2\)。

因此首先对所有差除以若干个 \(2\)。

不难猜到和 \(\gcd\) 有关，发现公差就是所有差的 \(\gcd\)。根据 \(\gcd(a-b,b-c)=\gcd((a-b)+(a-c),b-c)\)，直接原序列做差分然后求 \(\gcd\)。左端点一定时，\(\gcd\) 为 \(1\) 的右端点一定是一段后缀。且随着左端点上升，右端点单调不降。

因此可以预处理 \(\gcd\) st 表，然后双指针。复杂度 \(O(n \log n)\)。

B - Josuke and Complete Graph

计数题。去重可以考虑只算最特别的情况，这样可以不算重复。

计算 \(\gcd(u,v), l \le u,v \le r\) 的颜色数。

注意到 \(l \le 10^9\) 非常奇怪。复杂度预计是 \(O(t \sqrt{l})\) 的。

对每个颜色，我们只需要找到最特殊的 \((u,v)\) 来计算就可以了。

即对于颜色 \(g\)，我们只需要判定是否存在 \(l \le kg < (k+1)g \le r\)。

分 \(2\) 种情况；

\(l \le g \le r\)：此时 \(k=1\)，可以解不等式得到所有 \(l \le g \le \lfloor \frac{r}{2} \rfloor\) 都是合法的颜色。
\(g < l\)：此时我们取 \(kg < l \le (k+1)g < (k+2)g \le r\) 的情况。\(k=\lfloor \frac{l-1}{g} \rfloor\)。可以整除分块，所有 \(k\) 相等的 \(g\) 分在一块，取 \((k+2)g \le r\) 的颜色为合法颜色。

时间复杂度 \(O(t\sqrt{l})\)。

C - LCM Sum (hard version)

计数题。不断缩小答案范围。

反过来求 \(\text{lcm}(i,j,k) < i+j+k\) 的数量。因为 \(i+j+k < 3k\)，所以 \(\text{lcm}(i,j,k) = k\) or \(2k\)。

\(\text{lcm} = k\)。

\(i,j\) 是 \(k\) 的因子且 \(i,j\ge l\)。

可以枚举 \(k\) 和 \(i\)，求 \(j>i \land j\mid k\)。容易直接计算出所有合法 \(j\) 的个数。

枚举 \(i\) 而不是 \(j\) 的好处是对于每组询问，只要 \(i,k\) 合法，所有 \(j\) 也不会超出区间 \([l,r]\)。

把 \((i,k)\) 看作二维平面上的点，点有点权，每次询问数满足 \(l \le i < k \le r\) 的点的点权之和。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

\(\text{lcm} = 2k\)。

\(2k<i+j+k \Rightarrow i+j>k\)。

所以 \(j > \frac{k}{2}\)。\(j\) 不是 \(k\) 的因子。所以 \(j\) 分解质因数一定比 \(k\) 多一个 \(2\)。

\(\frac{j}{2}\) 是 \(k\) 的因子，所以 \(j\) 不超过 \(k\) 的因子个数个。

发现满足要求的 \(\frac{j}{2}\) 只能是 \(\frac{k}{3}\)。

所以 \(j = \frac{2}{3}k\)。

\(i\) 必须是 \(2k\) 的因子。而且 \(i> \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}\cdot 2k \land i < \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2k\)。

所以 \(i = \frac{1}{4} \cdot 2k\) or \(\frac{1}{5} \cdot 2k\)。

所以 \((i,j,k)\) 是 \((3d,4d,6d) 或 (6d,10d,15d)\) 的形式。

根据 \(l \le i,j,k \le r\) 解不等式即可。