Halcon 仿射变换基础

仿射变换 Affine Transformation

仿射变换：由一个平面/立体图形变换到另一个平面/立体图形的一种变换。在改变的过程中，保持直线和平行线不变（平行线映射为平行线），任何放射变换都可以分解为缩放、旋转、平移和切变的组合。

仿射变换矩阵：

$$

\begin{bmatrix}

x' \

y' \

1

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

a & b & c \

d & e & f \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x \

y \

1

\end{bmatrix}

$$

指定变换矩阵的参数(a,b,c,d,e,f)
使用一个简单的输入点(x,y) = (2,3)在齐次坐标中表示为(2,3,1)
计算得到输出点(x',y') = (a*2+b*3+c,d*2+e*3+f)

1.平移(Translation)

标准定义：平移由平移向量(Tx,Ty)定义，矩阵为：

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & Tx \

0 & 1 & Ty \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

示例:取平移向量(Tx,Ty) = (4,5)
变换矩阵：

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 4 \

0 & 1 & 5 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$
计算过程：

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 4 \

0 & 1 & 5 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

2 \

3 \

1

\end

\begin{bmatrix}

6 \

8 \

1

\end{bmatrix}

$$
结果：点(2,3)变换到点(6,8)
解释：点沿 x 轴移动 4 单位，沿 y 轴移动 5 单位。

Halcons算子：hom_mat2d_translate在现有变换矩阵基础上添加平移分量。

参数：
HomMat2D：输入变换矩阵（若从零开始，需先初始化单位矩阵）
Tx, Ty：X/Y方向的平移量
HomMat2DTranslate：输出变换矩阵

* 初始化单位矩阵

hom_mat2d_identity(HomMat2DIdentity)

* 添加平移 (Tx=100, Ty=50)

hom_mat2d_translate(HomMat2DIdentity, 100, 50, HomMat2DTranslate)

2.缩放(Scaling)

标准定义：缩放由缩放因子Sx(x方向)和Sy(y方向)定义，矩阵为：

$$

\begin{bmatrix}

Sx & 0 & 0 \

0 & Sy & 0 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

示例：取缩放因子Sx=2和Sy=3
变换矩阵：

$$

\begin{bmatrix}

2 & 0 & 0 \

0 & 3 & 0 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$
计算过程：

$$

\begin{bmatrix}

2 & 0 & 0 \

0 & 3 & 0 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

2 \

3 \

1

\end

\begin{bmatrix}

4 \

9 \

1

\end{bmatrix}

$$
- 结果：点(2,3)变换到点(4,9)
- 解释：点沿 x 轴缩放 2 倍，沿 y 轴缩放 3 倍。

Halcons算子：hom_mat2d_scale以指定中心点缩放。

参数：
HomMat2D：输入变换矩阵（若从零开始，需先初始化单位矩阵）
Sx, Sy：X/Y方向的缩放因子
Px, Py：缩放中心坐标（图像坐标系）
HomMat2DScale：输出变换矩阵

* 初始化单位矩阵

hom_mat2d_identity(HomMat2DIdentity)

* 以点 (Px=300, Py=300) 为中心，X方向放大2倍，Y方向缩小0.5倍

hom_mat2d_scale(HomMat2DIdentity, 2, 0.5, 300, 300, HomMat2DScale)

3.旋转(Rotation)

标准定义：旋转由旋转角度θ(逆时针为正)定义，矩阵为：

$$

\begin{bmatrix}

\cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \

\sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

示例：取旋转角度θ=90°(π/2弧度)，则sin 90° = 1, cos 90° = 0
变换矩阵：

$$

\begin{bmatrix}

0 & -1 & 0 \

1 & 0 & 0 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$
计算过程：

$$

\begin{bmatrix}

0 & -1 & 0 \

1 & 0 & 0 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

2 \

3 \

1

\end

\begin{bmatrix}

-3 \

2 \

1

\end{bmatrix}

$$
结果：点(2,3)变换到点(-3,2)
解释：点沿 x 轴旋转 90°，即逆时针旋转 90°。

Halcons算子：hom_mat2d_rotate绕指定中心点旋转。

参数：
HomMat2D：输入变换矩阵（若从零开始，需先初始化单位矩阵）
Angle: 旋转角度（弧度制）
Px, Py：旋转中心坐标（图像坐标系）
HomMat2DRotate：输出变换矩阵

* 初始化单位矩阵

hom_mat2d_identity(HomMat2DIdentity)

* 绕点 (Px=200, Py=200) 旋转 30°（弧度 ≈0.5236）

AngleRad := 30 * 3.1415926 / 180

hom_mat2d_rotate(HomMat2DIdentity, AngleRad, 200, 200, HomMat2DRotate)

4.错切(Shearing)

标准定义：错切由错切系数Sx(x方向)和Sy(y方向)定义，矩阵为：

$$

\begin{bmatrix}

1 & Sx & 0 \

Sy & 1 & 0 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

示例：取错切系数Sx=0.5和Sy=0.2
变换矩阵：

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0.5 & 0 \

0.2 & 1 & 0 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$
计算过程：

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0.5 & 0 \

0.2 & 1 & 0 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

2 \

3 \

1

\end

\begin{bmatrix}

1.5 \

2.6 \

1

\end{bmatrix}

$$
- 结果：点(2,3)变换到点(1.5,2.6)
- 解释：点沿 x 轴错切 0.5 单位，沿 y 轴错切 0.2 单位。
注意：错切矩阵的逆矩阵是：

$$

\begin{bmatrix}

1 & -0.5 & 0 \

-0.2 & 1 & 0 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$

5.复合变换(Composition)

多个仿射变换可以组合成一个复合变换，矩阵的乘积表示。

示例：先平移再缩放再旋转,平移向量(Tx,Ty)=(4,5)，缩放因子Sx=2和Sy=3，旋转角度θ=90°(π/2弧度)
变换矩阵：

$$

\begin{bmatrix}

2 & 0 & 0 \

0 & 3 & 0 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 4 \

0 & 1 & 5 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

0 & -1 & 0 \

1 & 0 & 0 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$
合并后的复合变换矩阵：

$$

\begin{bmatrix}

0 & -2 & 8 \

3 & 0 & 15 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

$$
计算过程：

$$

\begin{bmatrix}

0 & -2 & 8 \

3 & 0 & 15 \

0 & 0 & 1

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

2 \

3 \

1

\end

\begin{bmatrix}

-1 \

6 \

1

\end{bmatrix}

$$
- 结果：点(2,3)变换到点(-1,6)