【bzoj1925】[Sdoi2010]地精部落 组合数学+dp

题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

输入

仅含一行，两个正整数 N, P。

输出

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

样例输入

4 7

样例输出

3

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题解

自己yy的组合数学+dp

首先我们可以思考，一个序列中，“1”所在的位置一定是山谷。那么“1”左侧一定是右面为山峰，“1”右侧一定是左面为山峰。

然后我们可以发现左右是山峰的情况是对称的，所以相当于一边为山峰的情况。

而且左右互不影响，是相同的子问题。

所以对答案的贡献为“1”左边一边为山峰的方案数*“1”右边一边为山峰的方案数*从n-1个中选出“1”左边个数的数的方案数（组合数）。

同理可以更新出一边为山峰的方案数、两边为山峰的方案数。

状态转移方程（a[i]表示i个数的方案数，b[i]表示i个数中一边（不严格）为山峰的方案数，c[i]表示i个数中两边为山峰的方案数）：

$a[i]=\sum\limits_{j=1}^ib[j-1]·b[i-j]·C_{i-1}^{j-1}\\b[i]=\sum\limits_{j=1}^ib[j-1]·c[i-j]·C_{i-1}^{j-1}\\c[i]=\sum\limits_{j=1}^ic[j-1]·c[i-j]·C_{i-1}^{j-1}$

dp初值什么的看着办就好了。

然后就可以O(n^2)求出答案啦。

常数巨大。。。网上很多题解是分奇偶性讨论的，常数可能会小一些。

注：题目不保证p是质数，所以需要递推组合数，这会导致MLE，需要使用滚动数组。

#include <cstdio>
#define N 4210
typedef long long ll;
ll a[N] , b[N] , c[N];
int k[2][N];
int main()
{
	int n , p , i , j;
	scanf("%d%d" , &n , &p);
	a[0] = b[0] = a[1] = b[1] = c[1] = k[1][0] = 1;
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
	{
		k[i & 1][0] = 1;
		for(j = 1 ; j <= i ; j ++ ) k[i & 1][j] = (k[(i & 1) ^ 1][j - 1] + k[(i & 1) ^ 1][j]) % p;
		for(j = 1 ; j <= i ; j ++ )
		{
			a[i] = (a[i] + k[i & 1][j - 1] * b[j - 1] % p * b[i - j] % p) % p;
			b[i] = (b[i] + k[i & 1][j - 1] * c[j - 1] % p * b[i - j] % p) % p;
			c[i] = (c[i] + k[i & 1][j - 1] * c[j - 1] % p * c[i - j] % p) % p;
		}
	}
	printf("%lld\n" , a[n]);
	return 0;
}