「NOI2013」树的计数 解题报告

「NOI2013」树的计数

这什么神题

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考虑对bfs重新编号为1,2,3...n，然后重新搞一下dfs序

设dfs序为\(dfn_i\)，dfs序第\(i\)位对应的节点为\(pos_i\)

一个暴力是枚举bfs的分层，然后检查合法性。

但是我们注意到一个事情，节点\(i\)与节点\(i-1\)是否在同一层，是不是具有独立性呢？

设\(s_i\)表示\(i\)与\(i+1\)是否在同一层，当\(s_i=1\)时，表示不在同一层。

那么

• \(s_1=1\)，显然

• 若区间\([l,r]\)是同层的，有\(dfn_L<dfn_{L+1}<\cdots<dfn_R\)

  这个注意一点，遍历边的顺序是一样的，因此bfs先访问的dfs一定也先

  这样可以得到

  若\(dfn_i>dfn_{i+1}\)，则\(s_i=1\)

  注意只有这两个条件可以强制为\(s=1\)，这个已经是全部了

  但是我们还需要统计\(s=0\)强制同一层的情况

• 一个点dfs序后面的一个点，一定是它儿子或者它祖先的儿子，即

  \(dep_{pos_{i+1}}\le dep_{pos_i}+1\)

  设\(pos_i=a,pos_{i+1}=b\)

  如果\(a>b\)，那么就是普通的另外开了一颗子树，属于无用条件

  如果\(b=a+1\)，在条件2已经判断了

  如果\(b>a+1\)，说明一定产生了一个\(1\)的断层

  也就是\(\sum_{j=a}^{b-1}s_i=1\)

• 注意到可能有点\(s_i\)还是没有处理，说明这个无所谓，产生的答案为\(0.5\)，因此答案为\(1+\sum s_i\)

处理的话前两个都好弄，第三个表示区间至少有一个\(1\)（区间的\(1\)已经被2统计了）

可以直接打差分tag，来区分一下位置上是0还是0.5

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Code:

#include <cstdio>
#include <cctype>
template <class T>
void read(T &x)
{
	x=0;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)) c=getchar();
	while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
}
const int N=2e5+10;
int n,d[N],b[N],dfn[N],pos[N],s[N];
int main()
{
    read(n);
	for(int x,i=1;i<=n;i++) read(x),d[x]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) read(b[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++) dfn[i]=d[b[i]];
	for(int i=1;i<=n;i++) pos[dfn[i]]=i;
	++s[1],--s[2];double ans=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(dfn[i-1]>dfn[i])
			++s[i-1],--s[i],++ans;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		if(pos[i-1]+1<pos[i])
			++s[pos[i-1]],--s[pos[i]];
	for(int i=1,j=0;i<n;i++) j+=s[i],ans+=(!j)?0.5:0;
	printf("%.3f\n",ans+1);
	return 0;
}

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2019.4.13