洛谷 P4198 楼房重建

思路

此题可转化为以下模型

给定序列\(a[1...n]\)，支持单点修改，每次求区间单调栈大小

\(n,Q\le 10^5\)

区间单调栈是什么呢？对于一个区间，建立一个栈，首先将第一个元素入栈，从左往右扫，如果当前元素大于等于栈顶元素，就将其入栈，由此形成的栈即为单调不减的区间单调栈。

转化一下，其实就是求区间内满足\(a[i]=\max\limits_{j=1}^ia[j]\)的\(a[i]\)的个数。

一个自然的想法是维护单调栈的大小\(siz\)，那么如何去进行区间的合并呢？

合并两个子区间时，假设左子区间为\(L\)，右子区间为\(R\)，考虑合并之后的单调栈的组成部分：

• 第一部分：\(L\)的单调栈

  因为单调栈是从左往右做的，所以\(L\)的单调栈必然是大区间单调栈的一部分

• 剩余部分

  设出函数\(calc(now,pre)\)，\(now\)表示当前节点，\(pre\)表示当前单调栈的栈顶，\(calc\)函数计算剩余部分的单调栈的大小

总的单调栈大小\(siz\)就是\(L_{siz}+calc(R,L_{max})\)

calc的实现

现在有\(calc(now,pre)\)，\(l\)表示\(now\)的左子树，\(r\)表示\(now\)的右子树

• 如果\(pre>l_{max}\)，说明整个左子区间都不用考虑了，此时答案就变成了\(calc(r,pre)\)
• 如果\(pre\le l_{max}\)，此时\(l\)是有贡献的，他对\(siz\)的贡献就是\(calc(l,pre)\)，右子树的贡献为\(calc(r,l_{max})\)，总贡献就是\(calc(l,pre)+calc(r,l_{max})\)

至此\(calc\)就推完了，但是我们发现如果仅仅是这样的话，在最坏的情况下，复杂度会爆炸，那么怎么优化呢？

观察\(calc(r,l_{max})\)，发现它就等于\(siz-l_{siz}\)，所以第二种情况就可以变成\(calc(l,pre)+siz-l_{siz}\)，其中\(siz\)都是可以处理好的

这样我们就可以在\(O(\log n)\)的时间里完成一次合并

总时间复杂度\(O(Q\log^2 n)\)

代码

/*
Author:loceaner
*/
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define lson rt << 1
#define rson rt << 1 | 1
using namespace std;

const int A = 1e5 + 11;
const int B = 1e6 + 11;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

inline int read() {
  char c = getchar();
  int x = 0, f = 1;
  for ( ; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -1;
  for ( ; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + (c ^ 48);
  return x * f;
}

double val;
int n, m, ans, pos;
struct node { double maxn; int siz; } a[A << 2];

void build(int rt, int l, int r) {
  if (l == r) return;
  int mid = (l + r) >> 1;
  build(lson, l, mid), build(rson, mid + 1, r);
}

inline int calc(int rt, int l, int r, double h) {
  if (l == r) return a[rt].maxn > h;
  int mid = (l + r) >> 1;
  if (a[lson].maxn <= h) return calc(rson, mid + 1, r, h);
  return calc(lson, l, mid, h) + a[rt].siz - a[lson].siz;
}

inline void update(int rt, int l, int r) {
  if (l == r) {
    a[rt].maxn = val, a[rt].siz = 1;
    return;
  }
  int mid = (l + r) >> 1;
  if (pos <= mid) update(lson, l, mid);
  else update(rson, mid + 1, r);
  a[rt].maxn = max(a[lson].maxn, a[rson].maxn);
  a[rt].siz = a[lson].siz + calc(rson, mid + 1, r, a[lson].maxn);
}

int main() {
  n = read(), m = read();
  build(1, 1, n);
  while (m--) {
    int x = read(), y = read();
    pos = x, val = (double) y / x;
    update(1, 1, n);
    cout << a[1].siz << '\n';
  }
}