整数（质因子）分解（Pollard rho大整数分解）

整数分解，又称质因子分解。在数学中，整数分解问题是指：给出一个正整数，将其写成几个素数的乘积的形式。

(每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。)

.试除法（适用于范围比较小）

无论素数判定还是因子分解，试除法(Trial Division)都是首先要进行的步骤。令m=n,从2~根n一一枚举，如果当前数能够整除m，那么当前数就是n的素数因子，并用整数m

将当前数除尽为止。

若循环结束后m是大于1的整数，那么此时m也是n的素数因子。

事例如HDU1164:15mm

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#define N 65535
using namespace std;
int factor[N],top;
void divide(int n)
{
    for(int i=; i<=sqrt(n+0.0); i++)
    {
        while(n%i==)
        {
            top++;
            factor[top]=i;
            n/=i;
        }
    }
    if(n!=)
    {
        top++;
        factor[top]=n;
    }
    for(int i=; i<=top-; i++)
    {
        printf("%d*",factor[i]);
    }
    printf("%d\n",factor[top]);
    return ;
}
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        top=;
        divide(n);
    }
    return ;
}

2.筛选法对整数分解

试除法进行了许多不必要的运算，先将2~根n的所有素数打表，然后对应素数表一一试除将会大大节约时间。

事例如HDU1164:0mm

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <math.h>
#define N 65540
using namespace std;
int factor[N],top,cnt,prime[N];
bool b[N];
void make_prime()
{
    top=;
    b[]=b[]=false;
    b[]=true;
    prime[++top]=;
    for(int i=; i<N; i++)
        if(i%==) b[i]=false;
        else b[i]=true;
    double t=sqrt(*1.0);
    for(int i=; i<=t; i++)
    {
        if(b[i])
        {
            prime[++top]=i;
            for(int j=i*i; j<N; j=j+i)
            {
                b[j]=false;
            }
        }
    }
}
void divide(int n)
{
    cnt=;
    int temp=sqrt(n+0.0);
    for(int i=; i<=top; i++)
    {
        if(prime[i]>temp)
            break;
        while(n%prime[i]==)
        {
            cnt++;
            factor[cnt]=prime[i];
            n/=prime[i];
        }
    }
    if(n!=)
    {
        cnt++;
        factor[cnt]=n;
    }
    for(int i=; i<=cnt-; i++)
    {
        printf("%d*",factor[i]);
    }
    printf("%d\n",factor[cnt]);
    return ;
}
int main()
{
    int n;
    make_prime();
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        divide(n);
    }
    return ;
}

3.pollard rho快速因数分解(没看懂，仅当模版用）针对于比较大的整数分解

1975年，John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法，Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为O（n^(1/4)）。

对于因子很少，因子值却很大的数n，该方法不是很有效。

模版：

POJ1181:

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#include <time.h>
#include <algorithm>
typedef long long ll;
#define Time 15 //随机算法判定次数，Time越大，判错概率越小
using namespace std;
ll n,ans,factor[];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
ll tol;//质因数的个数，数组下标从0开始
//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
long long mult_mod(ll a,ll b,ll c)//计算 (a*b)%c.   a,b都是ll的数，直接相乘可能溢出的
{
    a%=c;//                           利用二分思想减少相乘的时间
    b%=c;
    ll ret=;
    while(b)
    {
        if(b&)
        {
            ret+=a;
            ret%=c;
        }
        a<<=;
        if(a>=c)a%=c;
        b>>=;
    }
    return ret;
}
ll pow_mod(ll x,ll n,ll mod)//x^n%n
{
    if(n==)return x%mod;
    x%=mod;
    ll tmp=x;
    ll ret=;
    while(n)
    {
        if(n&) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
        tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
        n>>=;
    }
    return ret;
}
//以a为基,n-1=x*2^t      a^(n-1)=1(mod n)  验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
//二次探测
bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
    ll ret=pow_mod(a,x,n);
    ll last=ret;
    for(int i=; i<=t; i++)
    {
        ret=mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==&&last!=&&last!=n-) return true;//合数
        last=ret;
    }
    if(ret!=) return true;
    return false;
}

// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;
bool Miller_Rabin(ll n)
{
    if(n<)return false;
    if(n==||n==||n==||n==)return true;
    if(n==||(n%==)||(n%==)||(n%==)||(n%==)) return false;//偶数
    ll x=n-;
    ll t=;
    while((x&)==)
    {
        x>>=;
        t++;
    }
    for(int i=; i<Time; i++)
    {
        ll a=rand()%(n-)+;//rand()需要stdlib.h头文件
        if(check(a,n,x,t))
            return false;//合数
    }
    return true;
}
//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
ll gcd(ll a,ll b)
{
    if(a==)return ;
    if(a<) return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        long long t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}
ll Pollard_rho(ll x,ll c)
{
    ll i=,k=;
    ll x0=rand()%x;
    ll y=x0;
    while()
    {
        i++;
        x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        long long d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=&&d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k)
        {
            y=x0;
            k+=k;
        }
    }
}
//对n进行素因子分解
void findfac(ll n)
{
    if(Miller_Rabin(n))//素数
    {
        factor[tol++]=n;
        return;
    }
    ll p=n;
    while(p>=n) p=Pollard_rho(p,rand()%(n-)+);
    findfac(p);//递归调用
    findfac(n/p);
}
int main()
{
    int T;
    //srand(time(NULL));加上RE不懂
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lld",&n);//(n>=2)
        /*if(n==1)
        {
            printf("1\n");
            continue;
        }*/
        if(Miller_Rabin(n))
        {
            printf("Prime\n");
            continue;
        }
        tol=;
        findfac(n);//对n分解质因子
        ll ans=factor[];
        for(int i=; i<tol; i++)
            if(factor[i]<ans)
                ans=factor[i];
        /*for(int i=0;i<tol;i++)
        {
            printf("%lld\n",factor[i]);
        }*/
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return ;
}

Kuangbin写的。

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

//****************************************************************
// Miller_Rabin 算法进行素数测试
//速度快，而且可以判断 <2^63的数
//****************************************************************
const int S=;//随机算法判定次数，S越大，判错概率越小

//计算 (a*b)%c.   a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的
//  a,b,c <2^63
long long mult_mod(long long a,long long b,long long c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    long long ret=;
    while(b)
    {
        if(b&){ret+=a;ret%=c;}
        a<<=;//别手残，这里是a<<=1,不是快速幂的a=a*a;
        if(a>=c)a%=c;
        b>>=;
    }
    return ret;
}

//计算  x^n %c
long long pow_mod(long long x,long long n,long long mod)//x^n%c
{
    if(n==)return x%mod;
    x%=mod;
    long long tmp=x;
    long long ret=;
    while(n)
    {
        if(n&) ret=mult_mod(ret,tmp,mod);
        tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
        n>>=;
    }
    return ret;
}

//以a为基,n-1=x*2^t      a^(n-1)=1(mod n)  验证n是不是合数
//一定是合数返回true,不一定返回false
bool check(long long a,long long n,long long x,long long t)
{
    long long ret=pow_mod(a,x,n);
    long long last=ret;
    for(int i=;i<=t;i++)
    {
        ret=mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==&&last!=&&last!=n-) return true;//合数
        last=ret;
    }
    if(ret!=) return true;
    return false;
}

// Miller_Rabin()算法素数判定
//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)
//合数返回false;

bool Miller_Rabin(long long n)
{
    if(n<)return false;
    if(n==)return true;
    if((n&)==) return false;//偶数
    long long x=n-;
    long long t=;
    while((x&)==){x>>=;t++;}
    for(int i=;i<S;i++)
    {
        long long a=rand()%(n-)+;//rand()需要stdlib.h头文件
        if(check(a,n,x,t))
            return false;//合数
    }
    return true;
}

//************************************************
//pollard_rho 算法进行质因数分解
//************************************************
long long factor[];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）
int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始

long long gcd(long long a,long long b)
{
    if(a==)return ;//???????
    if(a<) return gcd(-a,b);
    while(b)
    {
        long long t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}

long long Pollard_rho(long long x,long long c)
{
    long long i=,k=;
    long long x0=rand()%x;
    long long y=x0;
    while()
    {
        i++;
        x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        long long d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=&&d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k){y=x0;k+=k;}
    }
}
//对n进行素因子分解
void findfac(long long n)
{
    if(Miller_Rabin(n))//素数
    {
        factor[tol++]=n;
        return;
    }
    long long p=n;
    while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-)+);
    findfac(p);
    findfac(n/p);
}
int main()
{
   // srand(time(NULL));//需要time.h头文件  //POJ上G++要去掉这句话
    int T;
    long long n;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%I64d",&n);
        if(Miller_Rabin(n))
        {
            printf("Prime\n");
            continue;
        }
        tol=;
        findfac(n);
        long long ans=factor[];
        for(int i=;i<tol;i++)
          if(factor[i]<ans)
             ans=factor[i];
        printf("%I64d\n",ans);
    }
    return ;
}