BZOJ4719 [Noip2016]天天爱跑步

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本文作者：ljh2000
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Description

小c同学认为跑步非常有趣,于是决定制作一款叫做《天天爱跑步》的游戏。天天爱跑步是一个养成类游戏,需要

玩家每天按时上线,完成打卡任务。这个游戏的地图可以看作一一棵包含 N个结点和N-1 条边的树, 每条边连接两

个结点,且任意两个结点存在一条路径互相可达。树上结点编号为从1到N的连续正整数。现在有个玩家,第个玩家的

起点为Si ,终点为Ti  。每天打卡任务开始时,所有玩家在第0秒同时从自己的起点出发, 以每秒跑一条边的速度,

不间断地沿着最短路径向着自己的终点跑去, 跑到终点后该玩家就算完成了打卡任务。 (由于地图是一棵树, 所以

每个人的路径是唯一的)小C想知道游戏的活跃度, 所以在每个结点上都放置了一个观察员。 在结点的观察员会选

择在第Wj秒观察玩家, 一个玩家能被这个观察员观察到当且仅当该玩家在第Wj秒也理到达了结点J  。 小C想知道

每个观察员会观察到多少人?注意: 我们认为一个玩家到达自己的终点后该玩家就会结束游戏, 他不能等待一 段时

间后再被观察员观察到。 即对于把结点J作为终点的玩家: 若他在第Wj秒重到达终点,则在结点J的观察员不能观察

到该玩家;若他正好在第Wj秒到达终点,则在结点的观察员可以观察到这个玩家。

Input

第一行有两个整数N和M 。其中N代表树的结点数量, 同时也是观察员的数量, M代表玩家的数量。

接下来n-1 行每行两个整数U和V ,表示结点U 到结点V 有一条边。

接下来一行N 个整数,其中第个整数为Wj , 表示结点出现观察员的时间。

接下来 M行,每行两个整数Si和Ti,表示一个玩家的起点和终点。

对于所有的数据,保证 。

1<=Si,Ti<=N,0<=Wj<=N

 

Output

输出1行N 个整数,第个整数表示结点的观察员可以观察到多少人。

 

Sample Input

6 3
2 3
1 2
1 4
4 5
4 6
0 2 5 1 2 3
1 5
1 3
2 6

Sample Output

1 2 1 0 1

HINT

对于1号点,Wi=0，故只有起点为1号点的玩家才会被观察到，所以玩家1和玩家2被观察到，共有2人被观察到。

对于2号点，没有玩家在第2秒时在此结点，共0人被观察到。

对于3号点，没有玩家在第5秒时在此结点，共0人被观察到。

对于4号点，玩家1被观察到，共1人被观察到。

对于5号点，玩家1被观察到，共1人被观察到。

对于6号点，玩家3被观察到，共1人被观察到。

 

 

正解：lca+统计

解题报告：

25分

　　考虑此时n很小，可以对于每条路径上暴力模拟，经过某个点时可以看一下当前时刻，是否跟经过的点的w相等，如果相等，则贡献加一。

45分

　　注意到测试点9-12时，保证m条路径的出发点都是1，那么我们可以考虑如果将1作为树根，那么一条路径怎样才能对于它经过的点产生贡献。不难看出对于一个点i，只有在deep[i]=w[i]，才有可能有贡献。我在考场上是直接用的链剖+线段树，因为这就变成模板题了，而且n不到10w，尽管复杂度偏高，但是不易错。直接对于每条路径经过的点在线段树上增加1次经过次数，显然只有deep与w相等的点才会产生贡献。

　　事实上对于S=1的情况有线性的算法，正解会详细介绍，不再赘述。

60分

　　注意到测试点6-8时，题目保证树退化成链。我们观察一下对于链而言，有什么特别的地方。首先要明确，此时m条路径在链上肯定是要么往左要么往右，即S<=T或者S>T。先只考虑S<=T的情况，如果对于S到T之间的点i，要产生贡献的话，肯定满足i-S=w[i]，移项可得S=i-w[i]时才可以满足要求。注意到等式右边只与i本身有关，不妨设为K[i]，所以题目变成了查询S到T之间K[i]等于S的i的数量。因为题目只涉及到首和尾，我们可以很容易联想到差分，即对于S打上+1标记，T打上-1标记。

　　根据上述思路，我们考虑具体做法：对于每个点i,我们很容易发现只有从一个特定的点出发才有可能对i产生贡献。我们考虑维护一个统计数组A，A[k]表示的是处理到当前的结点时，从k出发的路径（而且还没有走到终点）有多少条。这样对于每个点i，我们只要查询一下所对应的A[K[i]]就可以了，根据上面的分析，这就是我们的答案了。有一点注意处理：一个点i时，我们需要把以i为起点的路径加入统计数组A，再计算这个结点的贡献，最后再把以这个结点为终点的路径从A中消除，具体可以用vector实现（上述处理顺序的必要性仔细想想就很容易想通了）。

　　而对于S>T的情况完全类似，只是需要把K[i]定义为i+w[i]，其余做法完全类似。

100分

　　题目中设计的几个档次的部分分其实暗示已经很明显了。链的做法离正解就不远了。而S=1和T=1是在告诉我们什么呢？拆路径！很容易发现，一条S到T的路径可以拆成一条S到LCA的路径和LCA到T的路径，然后对于这两条路径，一条往上，一条往下，都可以对应成链的处理方式了！

　　考虑对于每条路径，先将其拆分成两条路径（为了简化对LCA在两条路径中都出现的各种情况，我们可以先就让LCA出现两次，如果最后发现LCA是有贡献的，只需-1即可），同样，我们先只考虑向上的路径。如果我们对于S在统计数组A上打上1的标记，LCA在统计数组A上打上-1的标记，那么题目转化为求一个点的子树和。考虑上述做法正确性：因为只有S到LCA路径之间的点会产生贡献，而当这个点位于路径之间时，子树和会产生1的贡献，而在S的子树中或者LCA的上方都不会产生贡献。具体实现呢？对于一个点i，产生贡献的条件是deep[S]-deep[i]=w[i]，同样令K[i]=deep[i]+w[i]，当我们dfs到i时查询A[k[i]]的值即为贡献。为了保证正确性，我们思考统计答案的方式和顺序。首先我们肯定是在处理完i的子树之后再来处理i（想想就知道了），然后我们需要再把以i出发的向上的路径加入统计数组，再进行查询，最后把以i为终点的路径所产生的贡献在统计数组A中消除即可。注意到我们上面维护的仅仅是一个点的深度，由于同一深度的点很多，所以我们查询的时候会发现会把不在同一子树的点统计入答案，那怎么办呢？我们考虑对于一个点要查询子树和，肯定是只要单独地考虑这一个子树的贡献，所以我们可以记录进入i时A[k[i]]的值，再在访问完i的子树之后统计答案时，看一下此时新的A[k[i]]的值，容易发现新的值减掉进入时的，才是真正的i的子树中的A[k[i]]的值。这样我们就可以避免把别的子树的答案统计进来了。

　　对于向下的点做法类似，有一点复杂的地方就是等式变成了deep[T]-deep[i]=len-w[i]（len为路径长度），发现如果这样做的话会出现负数，那么我们就把统计数组向右平移30w位就可以了。

　　上述做法如果采用的是倍增求LCA的话，复杂度就是O(nlogn)；如果用tarjan离线求LCA的话，可以做到O(n+m)。

注意事项

　　对于树上每个结点，统计答案时不能直接查询在统计数组中的对应的路径条数，而应该统计dfs进入i时，和访问完i的子树时的变化量。

 

 

 

　　O(nlogn):

 //It is made by ljh2000
 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <ctime>
 #include <vector>
 #include <queue>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <string>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int MAXN = ;
 const int MAXM = ;
 int n,m,ecnt,first[MAXN],next[MAXM],to[MAXM],f[MAXN][],deep[MAXN],ans[MAXN],val[MAXN],tong[MAXN],MAXD,w[MAXN],num[];
 vector<int>ljh[MAXN],ljh2[MAXN],ljh3[MAXN];
 struct node{ int s,t,lca,len;}a[MAXN];
 inline int getint(){
     int w=,q=; char c=getchar(); while((c<''||c>'') && c!='-') c=getchar();
     if(c=='-') q=,c=getchar(); while (c>=''&&c<='') w=w*+c-'',c=getchar(); return q?-w:w;
 }
 inline void link(int x,int y){ next[++ecnt]=first[x]; first[x]=ecnt; to[ecnt]=y; }
 inline void init(int x,int fa){ for(int i=first[x];i;i=next[i]) { int v=to[i]; if(v==fa) continue; deep[v]=deep[x]+; init(v,x); f[v][]=x; } }
 inline int lca(int x,int y){
     if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y); int t=; while((<<t)<=deep[x]) t++; t--;
     for(int i=t;i>=;i--) if(deep[x]-(<<i)>=deep[y]) x=f[x][i]; if(x==y) return y;
     for(int i=t;i>=;i--) if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i]; return f[x][];
 }

 inline void dfs(int x,int fa){
     int now=w[x]+deep[x],cun; if(now<=MAXD) cun=tong[now];
     for(int i=first[x];i;i=next[i]) {
         int v=to[i]; if(v==fa) continue;
         dfs(v,x);
     }
     tong[deep[x]]+=val[x]; if(now<=MAXD) ans[x]=tong[now]-cun;
     for(int i=,ss=ljh[x].size();i<ss;i++) tong[deep[ljh[x][i]]]--;
 }

 inline void DFS(int x,int fa){
     int now=deep[x]-w[x],cun; now+=; cun=num[now];
     for(int i=first[x];i;i=next[i]) {
         int v=to[i]; if(v==fa) continue;
         DFS(v,x);
     }
     for(int i=,ss=ljh2[x].size();i<ss;i++) num[+ljh2[x][i]]++;
     ans[x]+=num[now]-cun;
     for(int i=,ss=ljh3[x].size();i<ss;i++) num[+ljh3[x][i]]--;
 }

 inline void work(){
     n=getint(); m=getint(); int x,y; for(int i=;i<n;i++) { x=getint(); y=getint(); link(x,y); link(y,x); }
     for(int i=;i<=n;i++) w[i]=getint(); deep[]=; init(,); for(int i=;i<=n;i++) MAXD=max(MAXD,deep[i]);
     for(int j=;j<=;j++) for(int i=;i<=n;i++) f[i][j]=f[f[i][j-]][j-];
     for(int i=;i<=m;i++) {
         a[i].s=getint(),a[i].t=getint(),val[a[i].s]++;
         a[i].lca=lca(a[i].s,a[i].t),a[i].len=deep[a[i].s]+deep[a[i].t]-deep[a[i].lca]*;
         ljh[a[i].lca].push_back(a[i].s);
     }
     dfs(,);
     for(int i=;i<=m;i++) {
         ljh2[a[i].t].push_back(deep[a[i].t]-a[i].len);
         ljh3[a[i].lca].push_back(deep[a[i].t]-a[i].len);
     }
     DFS(,);
     for(int i=;i<=m;i++) if(deep[a[i].s]-deep[a[i].lca]==w[a[i].lca]) ans[a[i].lca]--;
     for(int i=;i<=n;i++) { printf("%d",ans[i]); if(i<n) printf(" "); }
 }

 int main()
 {
     work();
     return ;
 }

 

 

　　O(n+m)：

 //It is made by ljh2000
 #include <iostream>
 #include <cstdlib>
 #include <cstring>
 #include <cstdio>
 #include <cmath>
 #include <algorithm>
 #include <ctime>
 #include <vector>
 #include <queue>
 #include <map>
 #include <set>
 #include <string>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int MAXN = ;
 const int MAXM = ;
 int n,m,ecnt,first[MAXN],next[MAXM],to[MAXM],f[MAXN][],deep[MAXN],ans[MAXN],val[MAXN],tong[MAXN],MAXD,w[MAXN],num[];
 int head[MAXN],tt[MAXM],nn[MAXM],father[MAXN],vis[MAXN];
 vector<int>ljh[MAXN],ljh2[MAXN],ljh3[MAXN];
 struct node{ int s,t,lca,len;}a[MAXN];
 inline int getint(){
     int w=,q=; char c=getchar(); while((c<''||c>'') && c!='-') c=getchar();
     if(c=='-') q=,c=getchar(); while (c>=''&&c<='') w=w*+c-'',c=getchar(); return q?-w:w;
 }
 inline void link(int x,int y){ next[++ecnt]=first[x]; first[x]=ecnt; to[ecnt]=y; }
 inline void LINK(int x,int y){ nn[++ecnt]=head[x]; head[x]=ecnt; tt[ecnt]=y; }
 inline int find(int x){ if(father[x]!=x) father[x]=find(father[x]); return father[x]; }
 inline void init(int x,int fa){
     father[x]=x; vis[x]=;
     for(int i=head[x];i;i=nn[i]) {
         int v=tt[i];
         if(x==a[v].s&&vis[a[v].t]) a[v].lca=find(a[v].t);
         if(x==a[v].t&&vis[a[v].s]) a[v].lca=find(a[v].s);
     }
     for(int i=first[x];i;i=next[i]) {
         int v=to[i]; if(v==fa) continue;
         deep[v]=deep[x]+; init(v,x); father[v]=x;
         f[v][]=x;
     }
 }

 inline int lca(int x,int y){
     if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y); int t=; while((<<t)<=deep[x]) t++; t--;
     for(int i=t;i>=;i--) if(deep[x]-(<<i)>=deep[y]) x=f[x][i]; if(x==y) return y;
     for(int i=t;i>=;i--) if(f[x][i]!=f[y][i]) x=f[x][i],y=f[y][i]; return f[x][];
 }

 inline void dfs(int x,int fa){
     int now=w[x]+deep[x],cun; if(now<=MAXD) cun=tong[now];
     for(int i=first[x];i;i=next[i]) {
         int v=to[i]; if(v==fa) continue;
         dfs(v,x);
     }
     tong[deep[x]]+=val[x]; if(now<=MAXD) ans[x]=tong[now]-cun;
     for(int i=,ss=ljh[x].size();i<ss;i++) tong[deep[ljh[x][i]]]--;
 }

 inline void DFS(int x,int fa){
     int now=deep[x]-w[x],cun; now+=; cun=num[now];
     for(int i=first[x];i;i=next[i]) {
         int v=to[i]; if(v==fa) continue;
         DFS(v,x);
     }
     for(int i=,ss=ljh2[x].size();i<ss;i++) num[+ljh2[x][i]]++;
     ans[x]+=num[now]-cun;
     for(int i=,ss=ljh3[x].size();i<ss;i++) num[+ljh3[x][i]]--;
 }

 inline void work(){
     n=getint(); m=getint(); int x,y; for(int i=;i<n;i++) { x=getint(); y=getint(); link(x,y); link(y,x); }
     for(int i=;i<=n;i++) w[i]=getint(); ecnt=;
     for(int i=;i<=m;i++) { a[i].s=getint(),a[i].t=getint(),val[a[i].s]++; LINK(a[i].s,i); LINK(a[i].t,i);}
     deep[]=; init(,); for(int i=;i<=n;i++) MAXD=max(MAXD,deep[i]);
     for(int j=;j<=;j++) for(int i=;i<=n;i++) f[i][j]=f[f[i][j-]][j-];
     for(int i=;i<=m;i++) {
         a[i].len=deep[a[i].s]+deep[a[i].t]-deep[a[i].lca]*;
         ljh[a[i].lca].push_back(a[i].s);
     }
     dfs(,);
     for(int i=;i<=m;i++) {
         ljh2[a[i].t].push_back(deep[a[i].t]-a[i].len);
         ljh3[a[i].lca].push_back(deep[a[i].t]-a[i].len);
     }
     DFS(,);
     for(int i=;i<=m;i++) if(deep[a[i].s]-deep[a[i].lca]==w[a[i].lca]) ans[a[i].lca]--;
     for(int i=;i<=n;i++) { printf("%d",ans[i]); if(i<n) printf(" "); }
 }

 int main()
 {
     work();
     return ;
 }