【XSY2523】神社闭店之日 莫比乌斯反演

题目大意

　　给你\(a_1\ldots a_n,l,c\)每次给你\(x,y\)，求有多少个序列满足：长度\(\leq l\)，每个元素是\([1,c]\)，循环右移\(a_j(x\leq j\leq y)\)次后和原序列相同。

　　\(n,q\leq 100000,l,c\leq{10}^9,lcm(a_1,\ldots a_n)\leq{10}^13\)

题解

　　显然只有右移\(\gcd(a_x,a_{x+1},\ldots,a_y)\)次后和原序列相同才满足条件。

　　先求出\(s=\gcd(a_x,a_{x+1},\ldots,a_y)\)

　　枚举长度\(i\)，答案\(ans\)为

\[\sum_{i=1}^lc^{\gcd(i,s)}
\]

　　先进行简单的莫比乌斯反演：

\[\begin{align}
ans&=\sum_{i=1}^lc^{\gcd(i,s)}\\
&=\sum_{d|s}c^d\sum_{i=1}^l[\gcd(i,s)=d]\\
&=\sum_{d|s}c^d\sum_{i=1}^{\frac{l}{d}}[\gcd(i,\frac{s}{d})=1]\\
&=\sum_{d|s}c^d\sum_{i|\frac{s}{d}}\mu(i)\lfloor\frac{l}{id}\rfloor\\
\end{align}
\]

　　根据套路，我们要枚举\(j=id\)

\[\begin{align}
ans&=\sum_{j|s}\lfloor\frac{l}{j}\rfloor\sum_{i|j}\mu(i)c^\frac{j}{i}\\
\end{align}
\]

　　记\(f(i)=\sum_{j|i}\mu(j)c^\frac{i}{j}\)，发现\(f(i)\)与\(s\)无关，所以可以先把所有\(f(i)\)预处理出来，每次直接枚举\(s\)的因子计算。

　　注意到这题很有一个性质：所有\(a_i\)的lcm\(\leq {10}^{13}\)，那么\(s\)一定是lcm的因子。\(\leq {10}^{13}\)的数最多有\(10752\)个因子，可以先把这些因子求出来，做一波\(因子个数\text{因子个数}^2\)的DP，询问时查表。

　　时间复杂度：\(因子个数O(\text{因子个数}^2+q\log n\log a)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
	int s=0,c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9');
	do
	{
		s=s*10+c-'0';
	}
	while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
	return s;
}
void put(int x)
{
	if(!x)
	{
		putchar('0');
		return;
	}
	static int c[20];
	int t=0;
	while(x)
	{
		c[++t]=x%10;
		x/=10;
	}
	while(t)
		putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
	if(b<a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
	if(b>a)
	{
		a=b;
		return 1;
	}
	return 0;
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
ll lcm(ll a,ll b)
{
	return a/gcd(a,b)*b;
}
const ll p=998244353;
ll fp(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
		if(b&1)
			s=s*a%p;
	return s;
}
ll d[100010];
namespace seg
{
	struct node
	{
		int l,r,ls,rs;
		ll s;
	};
	node a[200010];
	int rt;
	int cnt;
	void build(int &p,int l,int r)
	{
		p=++cnt;
		a[p].l=l;
		a[p].r=r;
		if(l==r)
		{
			a[p].s=d[l];
			return;
		}
		int mid=(l+r)>>1;
		build(a[p].ls,l,mid);
		build(a[p].rs,mid+1,r);
		a[p].s=gcd(a[a[p].ls].s,a[a[p].rs].s);
	}
	ll query(int p,int l,int r)
	{
		if(l<=a[p].l&&r>=a[p].r)
			return a[p].s;
		int mid=(a[p].l+a[p].r)>>1;
		ll s=0;
		if(l<=mid)
			s=gcd(s,query(a[p].ls,l,r));
		if(r>mid)
			s=gcd(s,query(a[p].rs,l,r));
		return s;
	}
}
struct hashset
{
	ll v[20010];
	int w[20010];
	int t[20010];
	int h[100010];
	int n;
	void insert(ll x,int y)
	{
		int hs=x%100007;
		n++;
		v[n]=x;
		w[n]=y;
		t[n]=h[hs];
		h[hs]=n;
	}
	int query(ll x)
	{
		int hs=x%100007;
		int i;
		for(i=h[hs];i;i=t[i])
			if(v[i]==x)
				return w[i];
		return 0;
	}
};
hashset h;
struct list
{
	int v[20000010];
	int t[20000010];
	int h[20010];
	int n;
	void add(int x,int y)
	{
		n++;
		v[n]=y;
		t[n]=h[x];
		h[x]=n;
	}
};
list li;
ll a[20010];
int m=0;
ll miu[20010];
ll f[20010];
ll l,c;
ll e=1;
ll g[20010];
ll gao(int x)
{
	ll ans=0;
	int i;
	for(i=1;i<=x;i++)
		if(a[x]%a[i]==0)
			ans=(ans+l/a[i]*f[i])%p;
	ans=(ans+p)%p;
	return ans;
}
ll f1[20010];
ll f2[20010];
ll ans[20010];
int main()
{
	open("b");
	int i;
	int n,q;
	scanf("%d%lld%lld%d",&n,&l,&c,&q);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld",&d[i]);
		e=lcm(e,d[i]);
	}
	for(i=1;ll(i)*i<=e;i++)
		if(e%i==0)
		{
			a[++m]=i;
			if(ll(i)*i!=e)
				a[++m]=e/i;
		}
	int j;
	sort(a+1,a+m+1);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		g[i]=fp(c,a[i]);
		h.insert(a[i],i);
	}
	for(i=1;i<=m;i++)
		for(j=1;j<=i;j++)
			if(a[i]%a[j]==0)
				li.add(i,j);
	for(i=1;i<=m;i++)
		if(a[i]!=1)
		{
			if(a[i]<=1000000000ll&&e%(a[i]*a[i])==0)
				f1[h.query(a[i]*a[i])]=1;
			for(j=li.h[i];j;j=li.t[j])
				if(li.v[j]!=1&&li.v[j]!=i)
				{
					f1[i]|=f1[li.v[j]];
					f2[i]=1;
				}
		}
	for(i=1;i<=m;i++)
		if(f1[i])
			miu[i]=0;
		else
		{
			int s=0;
			for(j=li.h[i];j;j=li.t[j])
				if(!f2[li.v[j]])
					s++;
			miu[i]=(s&1?1:-1);
		}
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		f[i]=0;
		for(j=li.h[i];j;j=li.t[j])
			f[i]=(f[i]+g[li.v[j]]*miu[h.query(a[i]/a[li.v[j]])])%p;
	}
	for(i=1;i<=m;i++)
		ans[i]=gao(i);
	seg::build(seg::rt,1,n);
	for(i=1;i<=q;i++)
	{
		int x,y;
		scanf("%d%d",&x,&y);
		ll s=seg::query(seg::rt,x,y);
		ll ss=ans[h.query(s)];
		printf("%lld\n",ss);
	}
	return 0;
}